Actualmente estoy trabajando en mi tesis de maestría en ciencias de la computación y me topé con una geometría del problema.
Mi objetivo es calcular la longitud de la más larga posible de fibra dentro de la zona de intersección de los tres círculos.
Sé que lo siguiente acerca de los círculos:
- su radio es r
- Construcción: se supone que hay un círculo alrededor de un punto c con el tamaño de r. Luego elegir al azar dos puntos v1 y v2 en el interior de este círculo. Estos dos puntos son los centros de los otros dos círculos.
Esta límites de la distancia entre los centros de los círculos:
- longitud(c,v1) es en la mayoría de los r
- longitud(c,v2) es en la mayoría de los r
- longitud(v1,v2) es en la mayoría de los 2r
Tenga en cuenta que los puntos pueden ser el mismo. Por lo que algunas de esta distancia puede ser 0.
Por lo tanto, voy a desglosar esta en cuatro casos:
Caso 1: (todos los puntos son los mismos, c=v1=v2) Si todos los puntos son los mismos, la solución es trivial. El más largo posible en el interior de un círculo es el diámetro.
Caso 2: (dos puntos son los mismos) Si dos puntos son los mismos, puedo calcular la distancia, como este: http://mathworld.wolfram.com/Circle-CircleIntersection.html
Caso 3: (tres puntos diferentes, pero en una línea recta) Si los tres puntos forman una línea recta, puedo calcular la distancia, como en el 2º caso. Ignoro el punto que se encuentra en el medio.
Caso 4: (los tres puntos forman un triángulo) Si los 3 centros forman un triángulo habrá tres puntos de intersección a,B y C que forman un triángulo, demasiado (me corrigen si me equivoco).
Para hacer las cosas más claras permite rotar la situación sin pérdida de generalidad. Girar el círculo tal que c es el centro superior.
Sea a el punto de intersección más cercana a. c. B y C siga en dirección a la derecha.
Aquí está la situación:
Traté de calcular estos valores mediante la construcción de otros triángulos, pero yo simplemente no puede encontrar ninguna solución. En algunos casos especiales en los que pude encontrar los ángulos del triángulo(a,B,C), pero eso no me ayudó. Es incluso posible? Si no hay manera de encontrar una cota superior para el más largo de la cuerda (que es menor que la obvia 2r) ?
Yo no sería tan difícil escribir una aproximación programa, pero desde que estoy trabajando en un teórico de la prueba de que no me ayuda. Espero que esta pregunta no es demasiado tonto ;) yo no soy un matemático.
Gracias de antemano, hhllcks
