Conflicto límite de respuestas usando la calculadora y el wolfram alpha

Question

Quiero a evaluar $\lim\limits_{x\to0} \dfrac{\tan(x) - \sin(x)}{(\sin(x))^3}$,

La calculadora dice que es 0 cuando se sustituye con 0.0000000001.

Wolfram Alpha dice que es 1/2.

El Conjunto de problemas dice que la respuesta es 1/2.

Creo en Wolfram Alpha más, pero yo he estado usando la calculadora método para que pueda responder a cosas realmente rápido (porque es para un examen de la junta, no debe pasar demasiado tiempo de derivados) hay una manera para mí para saber?

Answer 1

Como regla general, trate de expresar todo lo que en el término de cualquiera de las $\sin(x)$ o $\cos(x)$ a ver si hay alguna obvio cancelación. Para este caso, tenemos $$\frac{\tan(x) - \sin(x)}{\sin(x)^3} = \frac{\frac{\sin(x)}{\cos(x)} - \sin(x)}{\sin (x)^3} = \frac{1-\cos(x)}{\cos(x)(1-\cos(x)^2)} = \frac{1}{\cos(x)(1+\cos(x))}$$ usted no necesita ninguna calculadora para saber el límite es de $\frac12$.

Answer 2

$0.0000000001$ es demasiado pequeño de un número: la calculadora tiene una pequeña respuesta para la parte superior que se supone era cero (ya que los valores se restan en el numerador se redondea con el mismo valor). La parte inferior era distinto de cero, así que no había una división por cero error. Cero dividido por nada distinto de cero es cero.

Si vas a usar la calculadora método, me gustaría probar con un mayor número. Creo $10^{-5} = 0.00001$ debe ser lo suficientemente pequeño como para darle una buena respuesta sin necesidad de ejecutar en esta situación.

Answer 3

Una manera de hacerlo a mano es el uso de Series de Taylor. Para $x\to 0$, $\tan x = x+\frac 13x^3+o(x^3), \sin x = x - \frac 16x^3+o(x^3)$ Por Lo $$\frac {\tan x - \sin x}{\sin^3 x}= \frac {\frac12x^3+o(x^3)}{x^3}=\frac12+o(1)\to\frac12$$

Answer 4

El problema no es sólo que $\tan x - \sin x$ se aproxima a cero rápidamente; el verdadero problema es que como $x$ se aproxima a cero, $\tan x - \sin x$ se aproxima a cero mucho más rápidamente que cualquiera de las $\tan x$ o $\sin x$, porque (como se muestra por Ross Millikan) $\tan x - \sin x \approx \frac12 x^3$ pero $\tan x \approx x + \frac13 x^3$ $\sin x \approx x - \frac16 x^3.$ En algún momento, por muy pequeña $x$, $x^3$ es mucho menor que $x$ que $x + \frac13 x^3$ $x - \frac16 x^3$ ronda para el mismo número de en el interior de la calculadora, con el resultado de que $\tan x - \sin x$ es evaluado a $0$ exactamente. Este es un ejemplo extremo de la cancelación de error, un conocido bugaboo numéricos métodos informáticos.

Por ejemplo, Google dice (tan(0.0000001)-sin(0.0000001))/(sin(0.0000001))^3 es $0.5029258124$ pero (tan(0.00000001)-sin(0.00000001))/(sin(0.00000001))^3 es $0.$ Tratando de varios otros valores de $x$ como $0.001,$ $0.0001,$ $0.00001,$ y $0.000001$ muestra que el valor calculado por Google en realidad comienza a divergir de distancia de $\frac12$ (presumiblemente debido a la cancelación de error) para la entrada mucho menor que $x=0.0001$.

Answer 5

Si usted puede utilizar el estándar de los límites de \begin{equation*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-x}{x^{3}}=\frac{1}{3},\ \text{and}\ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x-\sin x}{x^{3}}=\frac{1}{6},\ \ \ \ \text{and}\ \ \ \ \ \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=1 \end{ecuación*} a continuación, \begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{\sin ^{3}x} &=&\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^{3}}\cdot \left( \frac{x}{\sin x}\right) ^{3}= \\ &=&\lim_{x\rightarrow 0}\left( \frac{\tan x-x}{x^{3}}+\frac{x-\sin x}{x^{3}}% \right) \cdot \left( \frac{x}{\sin x}\right) ^{3} \\ &=&\left( \frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right) \cdot \left( 1\right) ^{3} \\ &=&\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}