Resolver la integral $\int \frac{dx}{\left(x-2\right)^3\sqrt{3x^2-8x+5}}$

Question

$$\int \frac{dx}{\left(x-2\right)^3\sqrt{3x^2-8x+5}}$$

Estoy bastante seguro de que cierta sustitución debería funcionar. He probado a utilizar $x-2=\frac{1}{t}$

Y consiguió la integral: $$\int \:\frac{-\frac{dt}{t^2}}{\frac{1}{t^3}\sqrt{3\left(\frac{1}{t}+2\right)^2-8\left(\frac{1}{t}+2\right)^2+5}}$$

Tras algunas simplificaciones: $$\int \:\frac{tdt}{\sqrt{3\left(\frac{1}{t}+2\right)^2-8\left(\frac{1}{t}+2\right)^2+5}}$$

Y en este punto estoy perdido.

Answer 1

Desde el punto en que te detuviste:

$$\int \:\frac{tdt}{\sqrt{3\left(\frac{1}{t}+2\right)^2-8\left(\frac{1}{t}+2\right)^2+5}}$$

$$=\int\frac{tdt}{\sqrt{5-5\left(\frac 1 t+2\right)^2}}=\int\frac{tdt}{\sqrt{-\frac{5}{t^2}-\frac{20}{t}-15}}=-\frac{i}{\sqrt 5}\int\frac{t^2}{\sqrt{3t^2+4t+1}}dt$$

$$\overset{\text{complete the square }}{=}-\frac{i}{\sqrt 5}\int\frac{t^2}{\sqrt{\left(\sqrt 3 t+\frac{2}{\sqrt 3}\right)^2-\frac 1 3}}dt$$

Establecer $u=\sqrt t+\frac{2}{\sqrt 3}$ y $du=\sqrt 3 dt$

$$=-\frac{i}{\sqrt 5}\int\frac{(2\sqrt 3-3u)^2}{27\sqrt{u^2-\frac 1 3}}du$$

sustituto $u=\frac{\sec s}{\sqrt 3}$ y $du=\frac{\tan s \sec s}{\sqrt 3}ds$ entonces $\sqrt{u^2-\frac 1 3}=\sqrt{\frac{\sec^2 s}{3}-\frac 1 3}=\frac{\tan s}{\sqrt 3}$ y $s=\sec^{-1}(\sqrt 3 u)$

$$=-\frac{i}{81\sqrt 5}\int \sqrt 3 \sec s(2\sqrt 3-\sqrt 3\sec s)^2$$

$$=-\frac{i}{9\sqrt{15}}\int \sec^3 s ds+\frac{4i}{9\sqrt{15}}\int \sec^2 s ds-\frac{4i}{9\sqrt{15}}\int \sec s ds=\dots$$