He aquí un hecho divertido de la teoría de los nudos:
$\quad$ Si $\, \Sigma$ es una superficie de Seifert de género mínimo para un nudo $K$ entonces $i_*:\pi_1(S^3 \setminus \Sigma) \to \pi_1(S^3 \setminus K)$ es inyectiva, donde $i: S^3 \setminus \Sigma \to S^3 \setminus K$ es la inclusión.
Para una prueba, véase el "Lemma" en mi segunda respuesta a esta otra pregunta . Demuestra un resultado un poco más fuerte: Si $\, \Sigma$ es una superficie conexa, compacta y orientable en $S^3$ y $\pi_1(\Sigma^\pm)\to \pi_1(S^3 \setminus \Sigma)$ es inyectiva, entonces $\pi_1(S^3 \setminus \Sigma) \to \pi_1(S^3 \setminus \partial \Sigma)$ es inyectiva. Con el objetivo de extender el primer hecho a los enlaces con múltiples componentes, pregunto:
¿Cuándo $\pi_1(\Sigma^\pm)$ inyectar en $\pi_1(S^3 \setminus \Sigma)$ ? En particular, ¿bajo qué condiciones se cumple esto para una superficie Seifert de género mínimo de un enlace ?
No basta con ser una superficie de Seifert de género mínimo, como se demuestra al considerar el desenlace de dos componentes que delimita un anillo estándar. Hay algunas condiciones suficientes:
Ejemplos:
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$\Sigma$ es una superficie mínima de Seifert para un nudo es decir, el primer hecho.
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$\Sigma$ es una superficie mínima de Seifert para un enlace de dos o tres componentes $L$ en el que cada componente tiene un número de enlace distinto de cero con algún otro componente. Si $\pi_1(\Sigma^+) \to \pi_1(S^3 \setminus \Sigma)$ tiene un núcleo no trivial, el teorema del bucle nos da una curva no trivial en $\Sigma^+$ delimitando un disco incrustado en $S^3 \setminus \Sigma$ . Corte $\Sigma^+$ a lo largo de la curva y el recubrimiento con copias paralelas del disco produce una superficie orientable compacta incrustada $\Sigma'$ . Si $\Sigma'$ está conectada, es una superficie de Seifert para $L$ con un género menor que el de $\Sigma$ una contradicción. Si $\Sigma'$ está desconectado y contiene un componente cerrado (que no será $S^2$ por construcción), podemos eliminarlo para bajar el género y obtener otra contradicción. Por último, si $\Sigma'$ está desconectada y no contiene ninguna componente cerrada, entonces una de sus componentes conectadas sólo tiene una componente de frontera y, por tanto, es una superficie Seifert para una de las componentes de enlace, digamos $L_1$ . Pero como hay algún otro componente de enlace, digamos $L_2$ cuyo número de enlace con $L_1$ es distinto de cero, $L_2$ debe intersecar la componente de la superficie delimitada por $L_1$ . Esto contradice el hecho de que $\Sigma'$ está incrustado. Concluimos que $\pi_1(\Sigma^\pm)\to \pi_1(S^3 \setminus \Sigma)$ es inyectiva.
