¿Cómo puedo probar que $a\in (\mathbb{Z}_{p}^{*})^2 \Leftrightarrow a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod p$

Question

$p$ es el primer número de $>2$ $a$ es un cuadrado. $\mathbb{Z}_{p}^{*} $ es un grupo cíclico.

Necesito mostrar que $$ a\in (\mathbb{Z}_{p}^{*})^2 \iff a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1 \pmod p $$

Alguna idea de cómo?

Tengo que probar dos direcciones...

Gracias!

Q: ¿Tiene usted alguna idea de cómo puedo demostrar esta dirección? $\Longleftarrow$ (Entiendo que la otra dirección, pero por favor, ayúdame con esto...)

Answer 1

Deje $a=b^2$$$a^{\frac{p-1}{2}} = ({b^2})^{\frac{p-1}{2}} = b^{p-1}\equiv1\pmod p$$

Answer 2

A poco de Fermat, sabemos que para cualquier $a\neq 0$ $\Bbb Z_p^\times$ tenemos $a^{p-1}=1$. Esto significa que $a^{\frac{p-1}2}=\pm 1$. Es un teorema que, en $\Bbb Z_p^{\times}$, exactamente la mitad de los elementos son cuadrados (es decir, aquellas que corresponden a $1^2,2^2,\ldots,\left(\frac{p-1}2\right)^2$) y la mitad no son cuadrados. Pero por Lagrange del teorema, $a^{\frac{p-1}2}=1$ tiene más de $\dfrac{p-1}2$ soluciones y por la reivindicación anterior, al menos, $\dfrac{p-1}2$ soluciones. Por lo tanto, tiene exactamente $\dfrac{p-1}2$ soluciones, las plazas, los $\mod p$. Por lo tanto si $a=b^2$ de las ecuaciones que se mantiene, y si $a$ no es un cuadrado la ecuación no.

AGREGAR el Uso de $\Bbb Z_p^\times$ es cíclico. Deje $g$ ser una raíz primitiva módulo $p$. Podemos escribir $a=g^k$ algunos $k$. Por $g^{k(p-1)/2}=1$, se deduce que el ${\rm ord}(g)=p-1\mid (p-1)k/2$. Esto le da a $k/2$ es un número entero, por lo $k=2m$, e $a=g^{2m}=g'^2$ donde $g'=g^m$.