Más abierta de la bola de la invertible elementos de un álgebra de Banach

Question

Deje $a$ ser un elemento invertible de un álgebra de Banach $A$. Entonces sabemos que también cada una de las $a+b$ $b\in A$ $||b||<||a^{-1}||^{-1}$ es invertible. Ahora mi pregunta es si $B_{||a^{-1}||^{-1}}(a)$ ya es el mayor abierto de la bola de la invertible elementos en torno a $a$?

O, en otras palabras, es la siguiente verdad:

Para todos los invertible $a\in A$ no es un porcentaje ($b\in A$tal que $||b||=||a^{-1}||^{-1}$ $a+b$ no es invertible.

Answer 1

Vamos a analizar algunos de los casos donde tenemos la igualdad.

Considere la posibilidad de $A = M_{n}(\mathbb{C})$ con el operador de la norma inducida por el $L^2$ norma $\mathbb{C}^n$. La norma de una matriz de $a$ $\max ( \sigma_l)$ el mayor de los valores singulares de a $a$. Suponga que $a$ es invertible. Entonces la norma de $a^{-1}$$\max( \sigma_l^{-1})$. Por lo tanto $$||a|| = \max (\sigma_l)$$ $$||a^{-1}||^{-1} = \min (\sigma_l)$$ Considerar la descomposición de valor singular de a $a$. Es claro que se le puede restar de $a$ $ \min (\sigma_l) \cdot$ operador de norma $1$, y obtener un noninvertible elemento.

No es difícil demostrar que la propiedad vale para finito dimensionales $C^*$ álgebras considerando una involucración en algunos álgebra de matrices. De hecho, tiene para todos los $C^*$ álgebras.

Considere la posibilidad de $ A$ $C^*$ álgebra y $a \in A$. Supongamos primero que $a$ es hermitian que es $a = a^*$. A continuación, $||a|| = \rho(a)$ el radio espectral de $a$. Si $a$ también es invertible, entonces $$||a^{-1}||^{-1} = \rho (a^{-1})^{-1} = (\max \{ |\lambda \| | \lambda \in \sigma(a^{-1})\})^{-1}= \min\{ |\lambda| \ | \lambda \in \sigma(a) \}$$ Tome $\lambda_0 \in \sigma(a)$ de mínimo valor absoluto. Por lo anterior $|\lambda_0| = ||a^{-1}||^{-1}$. Observar que $a - \lambda_0 \cdot 1$ no es invertible.

Deje $a\in A$ invertible, no necesariamente hermitian. Considerar la descomposición polar $a = u \cdot h$ $u$ unitario, $h$ hermitian. Tenemos $||a|| = ||h||$ $||a^{-1}|| = ||h^{-1}||$ . Por lo anterior no existe $\lambda_0$ de valor absoluto $||h^{-1}||^{-1}$, de modo que $h - \lambda_0 \cdot 1$ no es invertible. Si sigue ese $a - \lambda_0 \cdot u$ no es invertible.

Deje $X$ ser un espacio de Banach y $A$ el de Banach álgebra lineal acotado a los operadores en $X$ con el operador de la norma. Deje $a\in A$ invertible. Para cualquier $\epsilon > 0$ existe $x \in X$, de modo que $||y|| \le ||a^{-1}||^{-1} + \epsilon$ $x \colon = a^{-1} y $ es de norma $1$. Si $X$ es finito dimensionales incluso podemos tomar $\epsilon =0$. Vamos ahora a $\phi \colon X \to \mathbb{K}$ lineal funcional de la norma $1$, de modo que $\phi(x) = 1$. A continuación, el operador lineal $b \colon = \phi \otimes y$ es de norma $||y||$$b x = y$. Por lo tanto,$x = a^{-1} b x$, por lo que $$ax - b x = (a-b)x=0$$ Hemos expuesto una $b$ norma $\le ||a^{-1}||^{-1}$, de modo que $a-b$ no es invertible.

Observación: Su pregunta parece ser esta: Para un determinado elemento invertible de un álgebra de Banach $A$ ¿la distancia de $a$ para el conjunto de noninvertible elementos igualdad de $||a||^{-1}$, y es la distancia alcanzada. Por lo anterior, ambos tienen la respuesta sí para $C^*$ álgebras y para el álgebra de los operadores en un (finito dimensionales) espacio de Banach.

Aquí está un ejemplo de un álgebra de donde, en general, no tenemos la igualdad. Vamos $A$ ser el Wiener álgebra, el álgebra de complejas funciones con valores con plazo, $2\pi$ y con absoluta convergente serie de Fourier. $A$ se compone de funciones $f$ de forma $$f(\theta) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \alpha_n e^{i n \theta} $$ tal que $\sum_{n \in \mathbb{Z}} |\alpha_n| < \infty$. Resulta que si una función $f$ $A$ no tiene ceros, entonces la serie de Fourier de su inversa tiene de nuevo los coeficientes en $l^1(\mathbb{Z})$ y por lo tanto es invertible en a $A$. ( esto no es una tautología). De ello se desprende que el espectro de un elemento es igual al conjunto de valores de un elemento que se considera como una función de la $\theta$. Vamos ahora a $a \in A$ una función, $a$ invertible. De ello se deduce que la distancia de $a$ para el conjunto de noninvertible elementos ( es decir, los elementos que han cero como valor) es igual a $\min_{\theta} a(\theta)$ en otras palabras, es igual a $\rho(a^{-1})^{-1}$ donde $\rho(\cdot)$ es el espectro de radio. Ahora es suficiente para presentar una invertible $a$ tal que $\rho(a^{-1}) < ||a^{-1}||$. Esto sucede de forma genérica al $a^{-1}$ tiene más de dos términos en su Fourier de expansión. Ejemplo: $a = (3 + e^{i \theta} - e^{2 i \theta})^{-1}$. Vemos que $\rho(a^{-1}) = \max_{\theta} |3 + e^{i \theta} - e^{2 i \theta}| < 3 + 1 + 1 = ||a^{-1}||$. ( el máximo es de $2 \sqrt{\frac{13}{3}} = 4.16...$, pero eso no es muy importante en este punto )

$\bf{Added:}$ Desde el anterior razonamiento para la Wiener álgebra debe quedar claro que para que un conmutativa álgebra de Banach (asumir la compleja para la simplicidad) la distancia de un determinado elemento invertible $a$ a la noninvertibles es $\rho(a^{-1})^{-1}$. Con el fin de obtener un álgebra $A$ y una invertible $a$ $A$ para los que tenemos esta distancia estrictamente entre el $||a^{-1}||$ $\rho(a^{-1})^{-1}$ nos quedamos lejos de la propiedad conmutativa. Pero ahora hemos de recordar que para cualquier grupo de $G$ (con alguna medida) podemos considerar el álgebra de $L^1$ funciones $G$. Vamos a considerar una finito y no conmutativa $G$. El ejemplo más sencillo es $S_3$. Resulta que aquí por un genérico invertible esta distancia es estrictamente entre los límites.Nota: con el fin De entender lo que el invertibles son uno debe buscar en el llamado grupo de "determinante". Así que ahora tenemos una familia de álgebras de Banach (finito dimensionales) para los cuales la desigualdad es estricta.