Límite de suma de la serie

Question

¿Cuál sería la suma de los siguientes ?

$$\lim_{n\to\infty} \left[\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{(n+2)^{2}} + \frac{1}{(n+3)^{2}} + \cdots + \frac{1}{(n+n)^{2}}\right]$$

Traté de convertirlo en integral :

$\displaystyle\int \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^{2}}\frac{1}{n^{2}} $ pero No puedo entender cómo lidiar con $\frac{1}{n^{2}}$

Answer 1

Sugerencia: $\frac{1}{(n+k)^2}\leq \frac{1}{n^2}$ entonces, ¿qué es un límite superior para:

$$\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+\dots\frac{1}{(n+n)^2}?$$

Por cierto, no se puede ver esto como parte integrante del límite si la escribe como:

$$\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{1}{\left(1+\frac k n\right)^2}$$

Pero: $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n}\frac{1}{\left(1+\frac k n\right)^2}\to\int_{0}^1 \frac{dx}{(1+x)^2}=\frac12$$

Así que con el extra de $\frac{1}{n}$, se puede determinar el límite será de...

Answer 2

$$\lim_{n\to\infty}0\le\lim_{n\to\infty} [\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{(n+2)^{2}} + \frac{1}{(n+3)^{2}} + ... + \frac{1}{(n+n)^{2}}]\le\lim_{n\to\infty}\frac{n}{(n+1)^2}$$ $$\lim_{n\to\infty}0\le\lim_{n\to\infty} [\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{(n+2)^{2}} + \frac{1}{(n+3)^{2}} + ... + \frac{1}{(n+n)^{2}}]\le\lim_{n\to\infty}\frac{\frac1n}{(1+\frac1n)^2}$$ $$0\le\lim_{n\to\infty} [\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{(n+2)^{2}} + \frac{1}{(n+3)^{2}} + ... + \frac{1}{(n+n)^{2}}]\le0$$ $$\lim_{n\to\infty} [\frac{1}{(n+1)^{2}} + \frac{1}{(n+2)^{2}} + \frac{1}{(n+3)^{2}} + ... + \frac{1}{(n+n)^{2}}]=0$$

Answer 3

La serie $\sum_{j=}^{\infty}1/j^2$ converge por la prueba de condensación de Cauchy para $0<\sum_{j=n}^{j=2 n}1/j^2 < \sum_{j=n}^{\infty}1/j^2$ $\to 0$ $n\to \infty.$