La no subjetividad de $C^1$ función.

Question

Estoy tratando de averiguar cómo hacer la siguiente pregunta, pero parece que no tengo ningún éxito.

Si $f:\mathbb{R}^1\to \mathbb{R}^2$ es de la clase $C^1$ mostrar que $f$ no lleva $\mathbb{R}^1$ en $\mathbb{R}^2$ .

Sé que si se supone que $f$ es onto, entonces dejemos que $g$ sea un inverso de la derecha de $f$ donde $f(g(x,y))=x$ . Si diferencio $f(g(x,y))=x$ usando la regla de la cadena, obtengo alguna expresión, pero hay un problema porque no estoy seguro de si $g(x,y)$ es en sí mismo diferenciable para empezar.

Alternativamente, si dejo que el mapeo de $f$ se escriba como $f(t)=(\phi_1(t), \phi_2(t))$ entonces la matriz jacobiana $Df(t)$ es un $2$ por $1$ matriz. Por lo tanto, el rango de columna de $Df(t)$ es $1$ . Pero cómo puedo utilizar esta información para concluir que $f$ no es onto, ya que si $f$ en primer lugar, el rango de columna de su jacobiano no será igual a la dimensión del codominio de la función.

Gracias de antemano

Answer 1

La forma más fácil de demostrar la no-surjetividad es mostrar $f(\mathbb{R})$ tiene medida cero en $\mathbb{R}^2$ .

Si $|f'(x)| < M$ para $x \in [a,b]$ se puede cubrir $f([a,b])$ por un cuadrado de longitud $M|b-a|$ (pista: teorema del valor medio). Si se subdivide $[n,n+1]$ por $N$ pequeños intervalos, uno consigue: $$ \mu(f([n,n+1])) \le \sup( |f'(x)| : x \in [n,n+1] )^2 / N $$ Tomando $N \rightarrow +\infty$ obtenemos $\mu(f([n,n+1])) = 0$ . Siendo una unión contable de conjuntos de medida cero, $f(\mathbb{R})$ tiene medida cero y por lo tanto no puede ser igual a $\mathbb{R}^2$ .

Para su información: La forma general de este tipo de resultados se conoce como Teorema de Morse-Sard , es muy útil en medio de una prueba donde se necesita escoger un punto fuera de la imagen de algún $C^k$ mapa $f : M \rightarrow N$ .