Conflicto pensamientos con las integrales de contorno.

Question

Decir que hemos dado un círculo centrado en el origen con radio 2, y se les da la función de $f(z) = \frac{z^2}{1-z^2}$. Me dijeron que esta integral es igual a 0 debido a que ambos polos se encuentran en el interior de la curva. Pensé que era lo contrario, donde la integral es sólo igual a 0 si los polos de la mentira fuera de la curva?

Para otro ejemplo de uso de la misma función, pero con el círculo está centrado en z = 1 y un radio de 1.5, uno de los polos se encuentra en el interior de la curva y el otro se encuentra fuera. Para hacer esto, puedo decir $\int_{C} \frac{z^2}{(1-z)(1+z)}dz = \int_{\gamma} \frac{\frac{z^2}{1+z}}{1-z}dz = 2\pi i f(a)$ donde a = 1 y $f(z) = \frac{z^2}{1+z}$.

Así, este se convertiría $2\pi i \frac{z^2}{1+z}$ y dejar z -> 1 se convierte en $2\pi i \frac{1}{2} = \pi i$.

Me siento como yo lo hice la segunda correctamente y que la persona que me habló de la primera uno está equivocado. Son ambos de estos correctos, incorrectos, o de otra manera? Me estoy perdiendo algo aquí? Parece muy básico, así que no estoy seguro de cómo la primera de ellas podría ser 0, basándose en lo que nos dijeron en clase.

Answer 1

$$\begin{align} \int_C\frac{z^2}{(1-z)(1+z)}\,\mathrm{d}z &=\frac12\int_C\left(\frac1{z+1}-\frac1{z-1}-2\right)\mathrm{d}z \end{align}$$ El residuo de $\frac1{z+1}$ $1$ y el residuo de $-\frac1{z-1}$$-1$. Por lo tanto, la integral a lo largo de un sentido antihorario $C$ $2\pi i$ veces la suma de los residuos contenidos en el interior de $C$.

No estoy seguro de cuál es el $2\pi af(a)$ representa en su respuesta.

Answer 2

Tienes razón en lo que piensas sobre el principio de tomar en cuenta todos los polos en el interior de la curva cerrada. Sin embargo, a veces es conveniente considerar la esfera de Riemann donde $\infty$ es sólo otra posible singularidad de una función de meromorphic, y si todos los demás singularidades están dentro de la curva, podemos calcular la integral de un único residuo en el infinito. En particular, si la función tiene una caries como $1/z^2$ el residuo no es cero.

Vamos a ver cómo funciona en el ejemplo. La función es $$\frac{z^2}{1-z^2}=-1+\frac{1}{1-z^2}$$ así $$\int_{|z|=2}\Big(-1+\frac{1}{1-z^2}\Big)\,dz=\int_{|z|=2}\frac{1}{1-z^2}\,dz$$ debido a $-1$ no tiene singularites en el interior del círculo. La última integral de todas las singularidades en el interior del círculo. Vamos a cambiar la variable $z=1/w$, por lo que todas las singularidades se moverá fuera. Tenemos $$\int_{|z|=2}\frac{1}{1-z^2}\,dz=\int_{|w|=1/2}\frac{1}{1-\frac{1}{w^2}}\Big(-\frac{1}{w^2}\Big)\,dw=-\int_{|w|=1/2}\frac{1}{w^2-1}\,dw.$$ La última integral es cero ya que la función es analítica en el interior del círculo de itegration. Tenga en cuenta que esta adentro estaba fuera antes de la variable de cambio.

P. S. Es importante que la función había lo suficientemente rápido decaimiento en $\infty$ para compensar $w^2$ en $$dz=-\frac{1}{w^2}\,dw$$ de lo contrario obtendríamos una singularidad en $w=0$ posiblemente con un valor distinto de cero residuos.