Deje $\displaystyle I = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014}\dfrac{1}{2014^{x}+1}\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx .$
La aplicación de $\displaystyle \int_a^bf(x)\;{dx} = \int_a^b f(a+b-x)\;{dx}$, por lo que tenemos
$\displaystyle I = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014}\dfrac{1}{2014^{-x}+1}\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx $
Añadir y destacar que $\frac{1}{2004^{x}+1}+\frac{1}{2004^{-x}+1} = 1$ hemos
$\begin{aligned} \displaystyle 2I & = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014} \left(\dfrac{1}{2014^{-x}+1}+\frac{1}{2014^{-x}+1}\right)\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx \\& = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014} \left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx = 2\int \limits_{0}^{\pi /2014} \left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right)\;{dx}\end{aligned} $
porque una integral de una función odd $[a, -a]$ es dos veces más de $[0, a]$; por lo tanto
$\begin{aligned} \displaystyle I & = \int \limits_{0}^{\pi /2014} \left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right)\;{dx}\end{aligned} $
Quien crea que la pregunta estaba tratando de crear algo diferente, estoy segura.