La evaluación de $ \int_{-\pi /2014}^{\pi /2014}\frac{1}{2014^{x}+1}\left( \frac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx $

Question

El siguiente problema de integración aparece en nuestro cálculo de la asignación. $$ \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014}\dfrac{1}{2014^{x}+1}\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx .$$

Pero el problema es que no tengo idea de cómo empezar este problema.

Podría alguien darme alguna ayuda ?

Cualquier sugerencias/ideas son muy apreciadas.

Gracias de antemano por las respuestas.

Answer 1

vamos $$f(x)=\dfrac{\sin^{2014}{x}}{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}\Longrightarrow f(x)=f(-x)$$ $$I=\int_{-a}^{a}\dfrac{f(x)}{1+2014^x}dx=\int_{-a}^{a}\dfrac{f(-x)}{1+2014^{-x}}dx=\int_{-a}^{a}\dfrac{f(x)}{1+2014^{-x}}$$ así $$2I=\int_{-a}^{a}f(x)\left(\dfrac{1}{1+2014^x}+\dfrac{1}{1+2014^{-x}}\right)dx=\int_{-a}^{a}f(x)dx$$ donde $a=\dfrac{\pi}{2014}$ así sólo encontramos $$I'=\int_{-\frac{\pi}{2014}}^{\frac{\pi}{2014}}\dfrac{\sin^{2014}{x}}{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}dx$$ si $\dfrac{\pi}{2014}$ reemplace $\dfrac{\pi}{2}$,hemos simple resultado porque $$I''=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^{2014}{x}}{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}dx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^{2014}{x}}{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}dx=2I'''$$ y deje $x\to \frac{\pi}{2}-x$,luego tenemos $$I'''=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos^{2014}{x}}{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}dx$$ así $$2I'''=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}{\sin^{2014}{x}+\cos^{2014}{x}}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}1dx=\frac{\pi}{2}$$

Answer 2

Deje $\displaystyle I = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014}\dfrac{1}{2014^{x}+1}\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx .$

La aplicación de $\displaystyle \int_a^bf(x)\;{dx} = \int_a^b f(a+b-x)\;{dx}$, por lo que tenemos

$\displaystyle I = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014}\dfrac{1}{2014^{-x}+1}\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx $

Añadir y destacar que $\frac{1}{2004^{x}+1}+\frac{1}{2004^{-x}+1} = 1$ hemos

$\begin{aligned} \displaystyle 2I & = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014} \left(\dfrac{1}{2014^{-x}+1}+\frac{1}{2014^{-x}+1}\right)\left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx \\& = \int \limits_{-\pi /2014}^{\pi /2014} \left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right) dx = 2\int \limits_{0}^{\pi /2014} \left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right)\;{dx}\end{aligned} $

porque una integral de una función odd $[a, -a]$ es dos veces más de $[0, a]$; por lo tanto

$\begin{aligned} \displaystyle I & = \int \limits_{0}^{\pi /2014} \left( \dfrac{\sin ^{2014}x}{\sin ^{2014}x+\cos ^{2014}x}\right)\;{dx}\end{aligned} $

Quien crea que la pregunta estaba tratando de crear algo diferente, estoy segura.