matriz inversa

Question

Me gustaría calcular una inversa parcial de un simétrica semi-definida la matriz.

He leído acerca de la computación de la pseudoinverse de una matriz rectangular mediante el uso de enfermedad vesicular porcina, sin embargo con una matriz simétrica que yo pueda aplicar una técnica similar utilizando en su lugar el autovalor de la descomposición, es decir, calcular los autovalores, deseche el más pequeño e invertir el resto.

¿Esto tiene sentido? Si es así puede que me apunte a una referencia que explica cómo lograr esto en detalle?

Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

La idea es que la descomposición de valor singular,

$$\mathbf A=\mathbf U\mathbf \Sigma\mathbf V^\top$$

y el eigendecomposition

$$\mathbf A=\mathbf Q\mathbf D\mathbf Q^\top$$

de una matriz simétrica son uno y el mismo.

Por lo tanto, si uno quiere que el Moore-Penrose pseudoinverse de $\mathbf A$, la descomposición puede ser utilizado. (Sin embargo, un SVD de rutina general no aprovechar el agradable de la estructura de una matriz simétrica, por lo que un poco más de esfuerzo computacional que lo que realmente se necesita, serán utilizados en ese caso; por lo tanto, el uso de la eigendecomposition.)

La idea es que, dejando $\mathbf A^\dagger$ ser el de Moore-Penrose pseudoinverse, tenemos la propiedad

$$\mathbf A^\dagger=\mathbf Q\mathbf D^\dagger\mathbf Q^\top$$

donde $\mathbf D^\dagger$ es (generalmente) calculada a través del siguiente procedimiento: tome $d_1$ a ser el mayor autovalor, y deje $\varepsilon$ epsilon de la máquina. Corresponder a cualquier entrada de $\mathbf D$ que es mayor que $\varepsilon\cdot d_1$, y el conjunto de todas las otras entradas a cero.