solución de $y^{\prime \prime} + y^n = 1$

Question

Yo no soy capaz de averiguar la solución para la diferencial de la solución $$y^{\prime \prime} + y^n = 1$$ Quiero específicamente de encontrar una respuesta a $$y^{\prime \prime} + y^2= 1$$and $$y^{\prime \prime} + y^3 = 1$$

Si alguien puede ayudar!

Answer 1

$$y''+y^n=1$$ Una solución obvia es $y=1$. Aparte de este caso trivial : $$2y''y'+2y^ny'=2y'$$ $$(y')^2+\frac{2}{n+1}y^{n+1}=2y+c_1$$ $$y'=\frac{dy}{dx}=\pm\sqrt{2y+c_1-\frac{2}{n+1}y^{n+1}}$$ $$x=\pm\int\frac{dy}{\sqrt{2y+c_1-\frac{2}{n+1}y^{n+1}}}+c_2$$ $x(y)$ es la función inversa de la $y(x)$.

No hay forma cerrada para la integral y más aún para la función inversa.

Además del cálculo supone analíticamente resolver una ecuación polinómica de $(n+1)$ grado. Teóricamente es posible hasta el $n+1=4$. Así, la forma cerrada existe para $n=2$ $n=3$ no $n>3$.

De hecho, la principal dificultad proviene de la solución analítica de la ecuación polinómica, que las raíces implican enormes fórmulas. Si suponemos que las raíces se sabe, además calculs implica la integral elíptica de primera especie para expresar $x(y)$, luego Jacobi amplitud de la función de expresar y(x) :