Grobner Base y Superficies

Question

Grobner base son muy buenos, en la que describe el polinomio de sistemas de ecuaciones con 0-dimensional cero conjuntos. En un sentido, Grobner base de los rendimientos de un mejor/descripción simplificada de estos sistemas debido a la Grobner polinomios (en monomio correspondiente orden) dejar explícitamente calcular los ceros.

Sin embargo, supongamos que el ideal de la $I\subseteq k[x_1,\ldots,x_n]$ tiene un positivo dimensiones de la puesta a cero, como una curva o de una superficie. ¿Qué puede Grobner base a decirle a usted acerca de estos cero? Estoy particularmente interesado en las curvas y superficies caso (como soy de la intersección de la plana 3-toro con diversas variedades).

Answer 1

Capítulo $15$ de Eisenbud del Álgebra Conmutativa: con una Vista Hacia la Geometría Algebraica contiene muchas aplicaciones de bases de Gröbner, y muchos de estos no son especiales para $0$-dimensiones ideales. Una lista inicial se puede encontrar en $\S15.1$ (p. $318$), mientras que un tratamiento más detallado se produce en $\S15.10$ (p. $355$). Voy a enumerar un par aquí. Deje $k$ ser un campo y $S = k[x_1, \ldots, x_r]$ ser un polinomio de anillo.

Ideal pertenencia: El problema más fundamental que las bases de Gröbner resolver es el de ideal miembros: dado un ideal $I \trianglelefteq S$$f \in S$, ¿cómo podemos saber si $f \in I$? Uno puede mostrar que el resto de $f$ al momento de la división por una base de Groebner es único, así que tenemos que $f \in I$ iff su resto es $0$, al igual que en el caso de una sola variable.

El significado geométrico es que si $S/I$ es el anillo de coordenadas de una irreductible afín algebraicas conjunto (con $I = \sqrt{I}$), un polinomio $f \in S$ induce el cero de la función en $V$ fib $f \in I$. Así que esto nos permite determinar cuando dos polinomios $f,g \in S$ inducir la misma función regular, cuando se limita a $V$: $f = g$ en $V$ fib $f-g \in I$.

Hilbert de funciones: Dada una variedad proyectiva $V$, vamos a $M$ ser su homogénea coordinar anillo, que está clasificada en el módulo $S$. Deje $M_s$ el valor del $s^\text{th}$ pieza clasificada de $M$. A continuación, $H_M(s) := \dim_k(M_s)$ es la de Hilbert función de $M$ (o de $V$). Bases de Gröbner proporcionar una forma sencilla de calcular la función de Hilbert que sólo requiere considerar monomio ideales. (Aquí se $\DeclareMathOperator{\init}{in} \init(N)$ es la inicial submódulo con respecto a algunas de las monomio pedido.)

Teorema de 15.26. Deje $M$ ser un finitely generado graduales $S$-módulo, dado por generadores y relaciones como $M = F/N$ donde $F$ es un módulo con una base homogénea y $N$ es un submódulo generado por homogéneos. Hilbert función de $M$ es el mismo que el de Hilbert función de $F/\init(N)$.

Por lo suficientemente grande enteros Hilbert función de acuerdo con un polinomio con coeficientes racionales se llama el polinomio de Hilbert. El polinomio de Hilbert lleva varias piezas de información acerca de una variedad proyectiva, tales como su dimensión, el grado y la aritmética de género. Alguna otra información que puede ser extraída de la polinomio de Hilbert se menciona en este MO hilo.

Primaria de descomposición: a partir De una base de Gröbner, uno puede calcular la primaria de la descomposición de un ideal $I \trianglelefteq S$, es decir, uno puede escribir $I = Q_1 \cap \cdots \cap Q_m$ cuando la $Q_i$ son primarios. En términos geométricos, esto permite descomponer un afín algebraicas en conjunto irreductible variedades desde $$ \mathbb{V}(I) = \mathbb{V}(Q_1 \cap \cdots \cap Q_m) = \mathbb{V}(Q_1) \cup \cdots \cup \mathbb{V}(Q_m) \, . $$ (Técnicamente, primaria descomposición lleva incluso más información que la clásica imagen geométrica, ya que $\mathbb{V}(I) = \mathbb{V}(\sqrt{I})$ si $k$ es algebraicamente cerrado).

Eisenbud incluye muy pocas otras aplicaciones de bases de Gröbner, también, como el cálculo de las syzygies, libre de resoluciones, y la importante functors como $\text{Hom}, \text{Ext}$, e $\text{Tor}$.