La comprensión básica de Registro y $2 \log _3(x)+\log _9(x)=10$

Question

Así que esto es lo que he hecho hasta tarifa

$$2 \log _3(x)+\log _9(x)=10$$

Sé que

$$\log _9(x)=\log _3\left(\sqrt{x}\right)$$

Por lo tanto, tengo

$$\log _3\left(x^{5/2}\right)=10$$

Sin embargo, aquí es donde me doy cuenta de que no he entendido correctamente el subyacente de registro. Ya sé que la respuesta es de 81 yo era capaz de darse cuenta de que

$$\log _3(x)=4$$

Es el mismo que x==3^4, pero no entiendo si estoy dividiendo o multiplicando o lo que está pasando. Pensé que

$$\log _3(x)$$

significaba que

$$3^?=x$$

Básicamente, tratando de encontrar el exponente? Al menos esa es la dummed versión que tengo pensado en clase

Podría alguien explicar lo que está sucediendo y lo que no entiendo , de tal manera que soy capaz de captar el concepto.

Answer 1

Usted consiguió correctamente:$$\log_3(x^{5/2})=10$$next step gives you:$$x^{5/2}=3^{10}$$therefore:$$x=(3^{10})^{2/5}$$Esperemos que se puede completar desde aquí

Answer 2

$$\log _3\left(x^{5/2}\right)=10$$

Voy a utilizar el enfoque que usted declaró a encontrar la respuesta.

Usted está en el camino correcto cuando usted indica que el $\log_3(x)$ se define para ser la solución a la ecuación de $3^?=x$ donde podemos resolver para la pregunta de marca. En nuestro caso, la pregunta de la marca ya es conocida y que tenemos que resolver para $x$. De la ecuación anterior, la pregunta que marca es igual a 10. Eso es lo que el signo igual indica en este escenario.

Ahora, tenemos que resolver la siguiente ecuación para $x$.

$$3^{10} = x^{5/2}$$

Answer 3

Básicamente, usted tiene una función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^+$ definido por: $$ f(x)=3^x.$$ Desde $f$ es creciente y surjective, existe una función de $g:\mathbb{R^+}\to \mathbb{R}$ que es la inversa de a $f$, es decir, satisface: $$\forall x\in\mathbb{R},\quad g(f(x))=x,$$ $$\forall x\in\mathbb{R}^+,\quad f(g(x))=x.$$ Llamamos a la función $\log_3$, es decir,$\log_3(x)=g(x)$. Así que sí, si $x\in\mathbb{R}^+$ y $$ 3^{?}=x, $$ tenemos: $$ ? = \log_3(x).$$ Todas las propiedades algebraicas de una función logaritmo puede ser derivada a partir de las propiedades de su función inversa. Por ejemplo, $f(x)f(y)=f(x+y)$ da $g(xy)=g(x)+g(y)$. Esto también da que si tienes que elegir un "referencia logaritmo" como la función inversa de la $e^x$ y usted lo llama, simplemente,$\log x$, entonces: $$\log_a(x) = \frac{\log x}{\log a},$$ así: $$\log_{a^2}(x) = \frac{\log x}{\log a^2} = \frac{\log x}{2\log a} = \frac{1}{2}\log_a(x).$$ Esta propiedades dan de que su ecuación es equivalente a: $$\left(2+\frac{1}{2}\right)\log_3(x) = 10, $$ o a: $$\log_3(x) = 4,$$ por lo $x=3^4$, como usted bien dijo.

Answer 4

Tal vez si se borra el denominador de la primera sería más clara de lo que está pasando:

$2\log_{3}x+\frac{1}{2}\log_3{x}=10\\ 4\log_{3}x+\log_3{x}=20\\ 5\log_{3}x=20\\ \log_3 x = 4\\ x=3^4$

¿Esta ayuda?