Calcular el $\lim_{n\to\infty} n^\alpha \Big(\frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{n+1} - \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\Big)$

Question

Deje $\alpha$ ser un número positivo. Encontrar $$\lim_{n\to\infty} n^\alpha \Big(\frac{\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{n+1} - \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\Big).$$

Me encantaría publicar una solución útil intento, pero todos mis esfuerzos se parecen a los de lejos. :)

Por favor me ayude, gracias!

Answer 1

El uso de Stirling de la Aproximación Asintótica, tenemos $$ \begin{align} \frac1n\log\left(\frac{n!}{n^n}\right) &=\frac1n\left(n\log(n)-n+\frac12\log(2\pi n)-n\log(n)+O\left(\frac1n\right)\right)\\ &=-1+\frac1{2n}\log(2\pi n)+O\left(\frac1{n^2}\right) \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \left(\frac{n!}{n^n}\right)^{1/n}=\frac1e\left(1+\frac{\log(2\pi n)}{2n}+O\left(\frac{\log(n)^2}{n^2}\right)\right) $$ Tomando el avance diferencia, obtenemos $$ \frac{\large\sqrt[n+1]{(n+1)!}}{n+1} -\frac{\large\sqrt[n]{n!}}{n}=\frac{1-\log(2\pi n)}{2en^2}+O\left(\frac{\log(n)^2}{n^3}\right) $$ Por lo tanto, si $\alpha\ge2$, el límite es de $-\infty$; si $\alpha\lt2$, entonces el límite es de $0$.

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Por ejemplo, $$ \begin{align} \frac{\sqrt[101]{101!}}{101}-\frac{\sqrt[100]{100!}}{100} &=0.379824377220339-0.379926893448343\\ &=-0.000102516228004 \end{align} $$ y $$ \frac{1-\log(200\pi}{20000e}=-0.000100119259074 $$