la continuidad de las normas con respecto a $p$

Question

Deje $f\in L^{\infty}(\Omega,\Sigma,\mu)\cap L^{1}(\Omega,\Sigma,\mu)$. A continuación, $w(p)=||f||_p$ es función continua de $p$ cualquier $p\in [1,\infty)$. Cómo probar esto?

He obtenido la prueba de que $lim_{p\rightarrow\infty}||f||_p=||f||_\infty$. Pero no sé cómo demostrar que para cualquier número real en $[1,\infty)$.

Answer 1

Su hipótesis garantía de que $\| f\|_p<\infty$ todos los $p\in [1,\infty)$. También se puede suponer sin pérdida de ese $f$ no es cero.e., de lo contrario, no es nada que demostrar. La función de $\varphi(p):=p\ln \| f\|_p$ luego convexo en $[1,\infty)$, por parte del Titular de la desigualdad. Como es finito valorada por todos los $p\in [1,\infty)$ es continua. Por lo tanto $w(p)=\exp(p^{-1}\varphi(p))$ es continua.