Existe un algoritmo para encontrar el fundamento de la intersección de subespacios $A_1$$A_2$, si tenemos las bases de los subespacios $A_1$$A_2$, sin el uso de eliminación Gaussiana?
Gracias.
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Leon Katsnelson
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Supongamos que hay dos subespacios $S_1, S_2$ que son representados como los núcleos de dos matrices, es decir,$S_k = \ker A_k$. Forman la matriz $A = \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$, y tenga en cuenta que $x \in S_1 \cap S_2$ fib $x \in \ker A$. A continuación, aplicar el Gram Schmidt proceso a las columnas de a $A^T$ para producir un conjunto de columnas ortonormales $\tilde{A}^T$. A continuación,$\ker \tilde{A} = \ker A$, es decir, $S_1 \cap S_2 = \ker \tilde{A}$.
Podemos utilizar Gram Schmidt para convertir un subespacio de representación entre el rango de representación del espacio y el núcleo de la representación:
Si un subespacio es representado como $S = {\cal R}(B)$, puede ser representado como un núcleo mediante la aplicación de Gram Schmidt, a $\begin{bmatrix} B & I \end{bmatrix}$ conseguir $\begin{bmatrix} \tilde{B} & \tilde{C} \end{bmatrix}$ (algunas de las columnas de a $\tilde{B},\tilde{C}$ puede ser cero). A continuación,${\cal R}(B) = {\cal R}(\tilde{B})$, e ${\cal R}(\tilde{C}) ={\cal R}(\tilde{B})^\bot = {\cal R}(B)^\bot $. Desde ${\cal R}(B) = {\cal R}(\tilde{C})^\bot = \ker \tilde{C}^T$,$S = \ker \tilde{C}^T$.
Si un subespacio es representado como $S = \ker A$, puede ser representado como un rango de espacio mediante la aplicación de Gram Schmidt, a $\begin{bmatrix} A^T & I \end{bmatrix}$ conseguir $\begin{bmatrix} \tilde{A}^T & \tilde{D}^T \end{bmatrix}$ (algunas de las columnas de a $\tilde{A}^T,\tilde{D}^T$ puede ser cero). Como en el anterior, ${\cal R}(A^T) = {\cal R}(\tilde{A}^T)$, e ${\cal R}(\tilde{D}^T) ={\cal R}(\tilde{A}^T)^\bot = {\cal R}(A^T)^\bot = \ker A $. Por lo tanto $S = {\cal R}(\tilde{D}^T)$.
Un enfoque alternativo si los subespacios son representados como rango de espacios:
Supongamos $S_k = {\cal R}(B_k)$. Tenga en cuenta que $z \in S_1 \cap S_2$ fib existe $x,y$ tal que $z = B_1 x = B_2 y$. En otras palabras, si dejamos $A = \begin{bmatrix} B_1 & -B_2 \end{bmatrix}$,$S_1 \cap S_2 = \{B_1 x | \binom{x}{y} \in \ker A \}$. Como en el anterior, podemos utilizar Gram Schmidt para obtener el $\tilde{D}^T$ tal que $\ker A = {\cal R} (\tilde{D}^T)$. Si dejamos $\Pi_x$ ser la matriz que devuelve 'x', es decir,. $\Pi_x \binom{x}{y} = x$ ,$S_1 \cap S_2 = {\cal R} ( B_1 \Pi_x \tilde{D}^T)$. Entonces uno puede utilizar Gram Schmidt para obtener las columnas linealmente independientes de a $B_1 \Pi_x \tilde{D}^T$.
