¿Puede una función tener un extremo local estricto en cada punto?

Question

Un problema planteado en la obra de Spivak Cálculo texto es demostrar que una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ no puede tener un máximo local estricto en cada punto. Voy a esbozar la prueba debajo del pliegue.

Mi pregunta es: ¿puede una función $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ tener un extremo local estricto en cada punto, ¿quizás una combinación de mínimos y máximos locales estrictos?

Si existiera tal función, los conjuntos $\{x: x\text{ a strict local maximum}\}$ y $\{x: x\text{ a strict local minimum}\}$ deben ser ambos densos, ya que si no, una vez que tenemos en nuestras manos un intervalo que contiene sólo un tipo de extremo, la prueba sigue adelante como antes.

Adenda: Tal función, si existiera, no podría ser continua en ningún conjunto abierto no vacío, porque afirmo que una función continua con un extremo local (no estricto) en cada punto debe ser una constante, lo cual es una contradicción, porque una función constante no tiene extremos estrictos.

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Prueba de que $f:[a,b]$ no puede tener un máximo local estricto en cada punto : Supongamos que $f$ es una función de este tipo. tomemos un punto cualquiera $x_1$ en $[a,b]$ y rodearlo con un intervalo $[a_1,b_1]$ tal que $0<b_1-a_1< \frac12 (b-a)$ tal que $f(x)<f(x_1)$ para todos $x\in [a_1,b_1]$ . Ahora tome cualquier punto en $[a_1,b_1]$ y obtener un intervalo $[a_2,b_2]$ reduciendo de nuevo la longitud al menos a la mitad, y así sucesivamente. Estos intervalos deben tener un punto común $p$ que no puede ser un máximo local, ya que tiene puntos $x_i$ arbitrariamente cerca de él, de forma que $f(x)>p$ .

Answer 1

No.

Se deduce del hecho de que una función sólo puede tener un número contable de máximos y mínimos locales estrictos.

Como prueba, véase Contabilidad de máximos locales en funciones continuas de valor real

Primera parte. Aunque la continuidad se menciona en la pregunta, no es necesaria.

Answer 2

Creo que su pregunta procede del capítulo 11, pregunta 71b), de la obra de Spivak Cálculo Edición IV, que dice lo siguiente:

Supongamos que cada punto es un punto máximo estricto local para $f$ . Sea $x_1$ sea un número cualquiera y elija $a_1 \lt x_1 \lt b_1$ con $b_1-a_1 \lt 1$ tal que $f(x_1) \gt f(x)$ para todos $x \in [a_1,b_1]$ . Sea $x_2 \neq x_1$ cualquier punto de $(a_1,b_1)$ y elija $a_1 \leq a_2 \lt x_2 \lt b_2 \leq b_1$ con $b_2-a_2 \lt \frac{1}{2}$ tal que $f(x_2) \gt f(x)$ para todos $x$ en $[a_2,b_2]$ . Continuar de esta manera, y utilizar el Teorema del intervalo anidado (Problema 8-14) para obtener una contradicción.

Parece que hay varias erratas en el planteamiento propuesto por Spivak; sin embargo, el tema del método es válido, y podemos proceder como sigue:

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Supongamos que cada punto de $\text{dom}(f)$ es un punto máximo estricto local de $f$ . Consideremos un $x_1$ . Por definición, existe un $\delta \gt 0$ tal que para cualquier $x \in (x_1 - \delta, x_1 + \delta) \setminus \{x_1\}$ : $f(x_1) \gt f(x)$ . Ahora, dejemos que $\delta_1 \lt\min\left(\delta,\frac{1}{1\cdot2}\right)$ y elija un $a_1,b_1 \in (x_1-\delta_1,x_1+\delta_1)\setminus \{x_1\}$ tal que $a_1 \lt x_1 \lt b_1$ . Vemos que para cualquier $x \in [a_1,b_1] \setminus \{x_1\}$ : $f(x_1) \gt f(x)$ . Cabe destacar que $x_1 \in [a_1,b_1]$ y $|a_1 - b_1| \lt \frac{1}{1}$ .

A continuación, considere cualquier $x_2 \in (a_1,x_1)$ . Por definición, existe un $\delta$ tal que para cualquier $x \in (x_2 - \delta, x_2+\delta) \setminus \{x_2\}$ : $f(x_2) \gt f(x)$ . Sea $\delta_2 \lt\min\left(\delta, \frac{1}{2 \cdot 2},|x_1-x_2|,|a_1-x_2|\right)$ y elija un $a_2,b_2 \in (x_2-\delta_2,x_2 + \delta_2)\setminus\{x_2\}$ tal que $a_2 \lt x_2 \lt b_2$ . Tenga en cuenta que $x_1 \notin [a_2,b_2]$ y $x_2 \in [a_2,b_2]$ . Por lo tanto, podemos decir que para todo $x \in [a_2,b_2] \setminus \{x_2\}$ : $f(x_2) \gt f(x)$ . Además, a partir de nuestra definición de $\delta_2$ Tenemos eso: $\delta_2 \lt x_1 - x_2$ . Porque $x_1 \lt b_1$ tenemos $x_1 - x_2 \lt b_1 -x_2$ . Juntos, hemos $\delta_2+x_2 \lt b_1$ . Pero $b_2 \lt x_2 + \delta_2$ por lo que concluimos que $b_2 \lt b_1$ . Del mismo modo, sabemos que $-\delta_2 \gt a_1 - x_2$ . Esto implica que $-\delta_2 + x_2 \gt a_1$ pero $a_2 \gt x_2 -\delta_2$ . Por lo tanto, debemos tener $a_2 \gt a_1$ lo que significa que $a_1 \lt a_2 \lt b_2 \lt b_1$ donde $|a_2 - b_2| \lt \frac{1}{2}$ .

Podemos continuar de esta manera para cualquier $n \in \mathbb N$ lo que nos permite llegar a dos conclusiones intermedias:

1. Observando que para cualquier $n$ tenemos $0 \lt |a_n -b_n| \lt \frac{1}{n}$ debemos tener que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} |a_n-b_n|=0$ .

2. Dejar $I_n=[a_n,b_n]$ tenemos que para cualquier $n$ : $I_{n+1} \subset I_n$ .

En estas condiciones, tenemos que $\bigcap _{i=0}^\infty I_n \neq \emptyset$ . En particular, tenemos que $\bigcap _{i=0}^\infty I_n \neq \emptyset$ es un singleton. Llama a este elemento $x^*$ . Por supuesto, $x^*$ es un punto máximo estricto local de $f$ lo que significa que hay un $\delta^*$ tal que para todo $x \in (x^*-\delta^*,x^*+\delta^*) \setminus\{x^*\}: f(x^*) \gt f(x)$ $\quad(\dagger_1)$ .

Sin embargo, tenga en cuenta que Propiedad arquimédica hay un $n$ tal que $\frac{1}{n} \lt \delta^*$ . Considere la $I_n$ cuya longitud total $|a_n-b_n| \lt \frac{1}{n}$ . Porque $x^* \in [a_n,b_n]$ debe darse el caso de que todos $[a_n,b_n]$ cabe dentro $ (x^*-\delta^*,x^*+\delta^*)$ . es decir $[a_n,b_n] \subset (x^*-\delta^*,x^*+\delta^*)$ . Por construcción, sabemos que todos $x \in [a_n,b_n]\setminus {x_n}$ satisfacer $f(x_n) \gt f(x) \quad (\dagger_2)$ . Y lo que es más importante, por construcción, también sabemos que $x_n \notin [a_{n+1},b_{n+1}]$ . Esto implica que $x_n \neq x^*$ . $(\dagger_2)$ implicaría, por tanto, que $f(x_n) \gt f(x^*)$ lo que contradiría $(\dagger_1)$ porque $x_n \in (x^*-\delta^*,x^*+\delta^*) \setminus\{x^*\}$ .

Así que debe ser el caso de que no todos los puntos de $\text{dom}(f)$ es un punto máximo estricto local de $f$ .