Encontrar una función dominante para esta secuencia

Question

Que $$fn (x) = \frac{nx^{1/n}}{ne^x + \sin(nx)}.$ $ la pregunta es: con el teorema de convergencia dominada encontrar límite $$ \lim{n\to\infty} \int_0^\infty f_n (x) dx. $ $ así que necesito encontrar una función integrable $g$ tal que $|f_n| \leq g$ % todos $n\in \mathbf N$. Traté de $$ \frac{nx^{1/n}}{ne^x + \sin(nx)} = \frac{x^{1/n}}{e^x + \sin (nx) /n} \leq \frac{x^{1/n}}{e^x - 1} \leq \frac{x^{1/n}}{x}. $$ Pero no puedo deshacerme de ese $n$. ¿Alguien me puede dar una pista?

Answer 1

Considere la posibilidad de $n\geqslant2$, luego $$ |f_n(x)|\leqslant\frac{x^{1/n}}{\mathrm e^x\frac12}\leqslant\frac{1+x}{\frac12\mathrm e^x}=g(x). $$

Answer 2

Tenemos \begin{align} \left| \frac{nx^{1/n}}{ne^x + \sin(nx)} \right|= & \frac{|x^{1/n}|}{|e^x + \sin(nx)/n|} & \\ \leq & \frac{\max\{1,x\}}{|e^x + \sin(nx)/n|} & \mbox{by } |x^{1/n}|\leq \max\{1,x\} \\ \leq & \frac{\max\{1,x\}}{|e^x -\epsilon |} & \mbox{if } |e^x + \sin(nx)/n|\geq |e^x -\epsilon| \\ \end{align} Tenga en cuenta que para todas las $\epsilon\in(0,1)$ existis $N$ cualquier suficientemente grande tal que $$ \left|\frac{1}{n}\sin(nx)\right|<\epsilon \implica |e^x + \sin(nx)/n|\geq |e^x\epsilon| $$ si $n>N$.