Cómo encontrar el décimo derivada de una función exponencial?

Question

Tengo esta ecuación, $f(x) = e^{-x^2}$. Mi pregunta es ¿cómo debo encontrar a $f^{(10)} (0)$, es decir, la décima parte derivada de esta ecuación.

He tratado de diferenciar para obtener una fórmula, y me $f^{(n)}(0) = (-1)^n*x^n*e^{-x^2}$. Sin embargo, la sustitución de $n=10$ $x=0$ en esta fórmula general me da una respuesta de $0$. Pero esto es incorrecto ya que la respuesta dada es $-10!/5!$.

Debo convertir esta ecuación en una Serie de Taylor? Si sí, ¿cómo debo utilizar la Serie de Taylor para encontrar la derivada?

Gracias!

Answer 1

Sabemos que: $$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!}+ \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + o(x^5)$$ El uso de $-x^2$ en lugar de $x$, se obtiene: $$e^{-x^2} = 1 - x^2 + \frac{x^4}{2} - \frac{x^6}{3!}+ \frac{x^8}{4!} - \frac{x^{10}}{5!} + o(x^{10})$$

El término general de la Serie de Taylor es $\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$. El término con $x^{10}$ tiene un coeficiente de $\dfrac{-1}{5!}$, por lo tanto: $$\frac{f^{(10)}(0)}{10!} = -\frac{1}{5!} \implies f^{(10)}(0) = -\frac{10!}{5!}$$ como se desee.