Es quasinorm siempre continua?

Question

Sea X un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, $\|\cdot\|: X\rightarrow [0,\infty)$ se llama cuasi-norma si

i) $\|x\|=0 \Rightarrow x=0$

ii) $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|, \forall \lambda, x$

iii) $\exists K\ge 1$, s.t. $\|x+y\|\le K(\|x\|+\|y\|), \forall x,y$

Mi pregunta es:

Si $\|x_k-x\|\rightarrow 0$, podemos concluir que el $\|x_k\|\rightarrow \|x\|$?

Answer 1

No. Un contraejemplo para $\mathbb R^2$ es: $$\|\langle x,y\rangle\|=\cases{K|x|&\text{for } y=0\\|x|+|y|&\text{otherwise}}$$ para algunos $K>1$.