Problema de Dirichlet: Unicidad de la solución

Question

Dejemos que $u$ sea la solución de un problema de Dirichlet en un dominio abierto acotado $D \subset \Bbb R^n$ .
¿Es el carácter único de $u$ garantizado por el principio de máximo o por la suavidad de la frontera de $D$ ?

Wikipedia dice que la solución es única cuando la frontera es suficientemente suave.
Pero, una aplicación del principio de máximo siempre da la unicidad de la solución.
No importa lo suave que sea el dominio.
¿Qué me falta?

Answer 1

¿Qué problema de Dirichlet para qué operador diferencial? Por defecto asumo el Laplaciano. ¿Con qué tipo de datos de frontera? Por defecto asumo que son continuos.

Entonces la suavidad no es necesaria para la unicidad: si dos funciones armónicas sobre un conjunto abierto acotado tienen la misma extensión continua a la frontera, entonces son idénticas. La razón es, en efecto, el principio de máximo.

$C^{1,\alpha}$ tampoco es necesario para la existencia. Sería impar descartar las cajas rectangulares al considerar los problemas de valor límite. Una condición suficiente para la existencia es la estado del cono exterior Cada punto de $\partial D$ es el vértice de algún cono circular (finito) que es disjunto de $D$ . (Esta condición no es necesaria, pero es suficiente a efectos prácticos. La condición necesaria y suficiente para la existencia es algo que no se querría comprobar en la práctica).