sumas de números libres al cuadrado , ¿es esta conjetura equivalente a la conjetura de goldbach?

Question

Como se puede notar todo entero mayor que $1$ es una suma de dos números sin cuadrado (números que no están divididos por alguna potencia cuadrada prima). ¿Podemos demostrarlo?

Edición: ¿Podemos tener límites para la longitud de estos números? (es decir, el número de los primos que lo dividen)

El teorema de Chen afirma que para números pares suficientemente grandes la longitud (2,1) es suficiente La conjetura de Goldbach dice que (1,1) también sería suficiente.

Y una conjetura: todo número impar puede escribirse como una suma de dos números libres de cuadrados de longitud como máximo (2,1) (es decir, como una suma de un primo y un doble de un primo o una suma de un primo más 2 o como una suma de 1 más un doble de un primo)

Preguntas

¿realmente necesito el primo más 2 o el 1 más el doble de un primo en oredr para tener todos los números Impares? creo que no los necesito pero ¿podemos demostrarlo?

¿Cuál es la relación de esta conjetura con la conjetura de Goldbach? ¿Implica la una a la otra?

EDITAR Buscando en wikipedia me he dado cuenta de que se trata de una conjetura bien conocida, para más detalles ver http://en.wikipedia.org/wiki/Lemoine%27s_conjecture

Answer 1

La mayoría de los números son libres de cuadrados. Más concretamente, se puede demostrar que existe una constante $c<\frac{1}{2}$ tal que para cada entero positivo $n$ , menos de $cn$ de los números $1$ a través de $n$ no son libres de cuadrados.

Una forma de obtener un límite aproximado para $c$ es observar que como máximo $n/4$ de los números de $1$ à $n$ son divisibles por $4$ como máximo $n/9$ divisible por $9$ como máximo $n/25$ divisible por $25$ etc. Si sumamos todas estas desigualdades, hay menos de $(1/4+1/9+1/25+\cdots)n\lt .46n$ números no libres de cuadrados de $1$ à $n$ . La suma $\displaystyle{\sum_{p\text{ prime}}\frac{1}{p^2}=.4522474200410654985065...}$ es el función zeta primera evaluado en $2$ .

Así que puedes tomar $c=.46$ . Para $n\geq 13$ , $\lfloor n/2\rfloor \gt .46n$ , por lo que no todos los $\lfloor n/2\rfloor$ conjuntos disjuntos por pares $\{1,n-1\},\{2,n-2\},\ldots,\{\lfloor n/2\rfloor,n-\lfloor n/2\rfloor\}$ puede contener un número no cuadrado.

Answer 2

Se sabe que el Densidad de Schnirelmann de números libres cuadrados es $\displaystyle \frac{53}{88}$ por ejemplo, como se menciona aquí: http://www.jstor.org/pss/2040089 . Nótese que esto es diferente de la densidad natural que se sabe que es $\displaystyle \frac{6}{\pi^2}$ .

Esto implica que para cualquier $n$ el número de números libres cuadrados $\displaystyle \le n$ es al menos $\displaystyle \frac{53n}{88}$ . Desde $\displaystyle \frac{53}{88} \gt \frac{1}{2}$ Esto implica que $n+1$ puede escribirse como la suma de exactamente dos números libres de cuadrados.

btw, tu título no se corresponde con la pregunta.

La base aditiva significa que también incluye $\displaystyle 0$ en el conjunto que parece excluir al decir dos en lugar de a lo sumo dos.