Un campo finito de extensión de la $K\supset\mathbb Q$ contiene un número finito de raíces de la unidad

Question

Debo mostrar que cualquier campo finito extensión de $K\supset \mathbb Q$ sólo puede contener un número finito de raíces de la unidad.

Yo razonaba de la siguiente manera: Deje $n<\infty$ es el grado de $K$$\mathbb Q$. Ahora, para cualquier $\alpha\in K$ debemos tener claramente $\mathbb Q(\alpha)\subseteq K$. Así que el grado de $\alpha$ $\mathbb Q$ es en la mayoría de las $n$. Por lo tanto, si podemos mostrar que hay sólo un número finito de raíces de la unidad de grado menor o igual a $n$, hemos terminado.

Ahora, desde cualquier raíz de la unidad de grado menor o igual a $n$ es una primitiva $k$'th raíz de la unidad para algunos $k\leq n$ se sigue que $K$ puede en la mayoría de contener todas las raíces de la lista limitada de cyclotomic polinomios $\Phi_1,\Phi_2,...,\Phi_n$ que cada uno tiene un número finito de raíces. Todos juntos este será un número finito, lo que demuestra la demanda.

Así que mis preguntas son:

• Es esto correcto/lo suficiente?
• Cuando este ejercicio fue en la pizarra en clase un extenso argumento de vino. Así que me estoy perdiendo algún punto importante aquí?

Mi versión final

Habiendo entendido el punto de que me perdí antes, ahora veo que será suficiente para argumentar que la $\operatorname{deg}(\Phi_k)=\varphi(k)$ excede $n$. Sabemos que $$ \varphi(k)=\prod_ j\varphi(p_j^{a_j}) $$ donde $p_j$ son los factores primos de a $k$ (de manera similar a lo que Ewan Delannoy dio en su respuesta). Ahora la primera nota que $\varphi(p^k)$ es stricly aumentando con el primer $p$ y la multiplicidad $k$. Así que podemos encontrar una multiplicidad $M$ tal que $\varphi(2^M)>n$ lo que implica $\varphi(p^M)>n$ para todos los números primos. También cualquier prime $p>n+1$ han $\varphi(p^k)\geq p-1>n$ todos los $k$.

Esto demuestra que $\varphi(k)>n$ si uno de los principales factores de $k$ es mayor que $n+1$ o una de las multiplicidades es, al menos,$M$. Esto sin duda va a suceder por $k$ lo suficientemente grande.

Answer 1

La prueba es correcta, excepto en un punto.

No es cierto que "una raíz de la unidad de grado $\leq n$ es un primitivo $k$-ésima raíz de la unidad, por $k\leq n$.", De hecho, $z=exp(\frac{2\pi i}{3})$ tiene el grado $\leq 2$, pero es una primitiva $3$-rd de la unidad (como se observa en user10676 del comentario).

En general, un $k$-ésima raíz primitiva de la unidad tiene un grado $\phi(k)$ donde $\phi$ es de Euler totient función.

Lo que debemos mostrar es que para cualquier entero $M\gt 0$ el conjunto $X=\lbrace k | \phi(k) \leq M\rbrace$ es finito.

Vamos a utilizar la conocida fórmula :

$$ \phi(\prod_{j}p_j^{a_j})=\prod_{j}(p_j-1)p_j^{a_j-1} \etiqueta{1} $$

Deje $p$ ser el más pequeño prime $ > M$. Si $k$ tiene un divisor primo $q$ que es $> p$, luego por (1) $q-1$ divide $\phi(x)$, lo $\phi(x) \geq q-1 >M$. Así que si $x\in X$, $x$ sólo puede ser divisible por los números primos $p_1,p_2, \ldots ,p_r$ que $\leq p$. Así que podemos escribir

$$ x=p_1^{a_1}p_2^{a_2} \ldots p_r^{a_r} $$

Ahora para cada $j$, $p_j^{a_j-1}$ divide $\phi(x)$ (1), por lo $\phi(k) \geq p_j^{a_j-1}$. Deducimos que el obligado $p_j^{a_j-1} \leq M$, y, por tanto,$a_j \leq 1+\frac{\log(M)}{\log(p_j)}$. Por lo que hay en la mayoría de las $2+\frac{\log(M)}{\log(p_j)}$ valores para el exponente $a_j$.

Esto demuestra que $X$ es finito : hay no mas

$$ N=\prod_{j=1}^{r}. ( 2+\frac{\log(M)}{\log(p_j)}) $$

elementos en $X$.