Encontrar el valor mínimo de $\sum a_ib_i$

Question

Si $a_1,a_2\dots a_n$ y $b_1,b_2\dots b_n$ son dos reordenamientos de $1,2,\dots n$ Encuentra los valores mínimos y máximos de $$\sum_{i=1}^na_ib_i$$

Encontré que el máximo era $\sum i^2$ usando Cauchy-Schwarz.

También WLOG $\sum_{i=1}^na_ib_i=\sum_{i=1}^nib_i$

¿Cómo proceder para el valor mínimo?

Answer 1

HINT

Consulte desigualdad de reordenación

$$\sum_{i=1}^n a_i\cdot b_i\ge\sum_{i=1}^n a_i\cdot b_{\sigma(i)} \ge \sum_{i=1}^n a_i\cdot b_{n+1-i}$$

donde $a_1\le a_2\le \cdots \le a_n$ y $b_1 \le \cdots \le b_n$ .