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Demostrar el máximo de las dos integrales de funciones es menor o igual a la integral de la máxima de dos funciones

Probar que en un intervalo de [a,b] si f g son integrables, de max es integrable y \max(\int_a^b f(x)dx, \int_a^b g(x)dx) \leq \int_a^b \max(f(x), g(x))dx.

He probado la primera parte por \max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2} así \max(f(x),g(x))=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2} El valor absoluto, la suma y de la diferencia, y la multiplicación por una constante de Riemann integrable funciones son todos los Riemann integrable, por lo tanto el max también es integrable.

Alguien puede ayudar con la segunda parte? Muchas gracias!

3voto

W3BGUY Puntos 51

Tenemos \begin{align*} f\leq f\vee g, \end{align*} así que tomando las integrales de ambos lados, tenemos \begin{align*} \int f\leq\int f\vee g, \end{align*} del mismo modo, \begin{align*} \int g\leq\int f\vee g, \end{align*} así \begin{align*} \int f\vee\int g\leq\int f\vee g. \end{align*}

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