Valor inicial problema de segundo orden de la ecuación diferencial lineal : ¿por qué estoy recibiendo sólo un cero como una solución?

Question

Me da la siguiente ODA : $y'' - 2ay'+by = 0$ de las constantes de $a,b$, junto con las condiciones iniciales $y(0) = y(1) = 0$. Además sé que algunas de función $y$ es una solución de esta ODA.

¿Cómo puedo demostrar que $y(n) = 0$ para todos los números naturales $n$?

La idea sería la de resolver la ecuación : es un segundo orden de la ecuación diferencial lineal. Por lo tanto, (saltos de rigor) resolvemos $r^2 - 2ar + b = 0$ para obtener soluciones de $r_1,r_2$ que puede o no puede ser igual (y puede ser complejo).

La solución ahora es dada por :

1 : $y(t) = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ si $r_1 \neq r_2$ (tenga en cuenta que si son complejos, a continuación, por la fórmula de Euler tenemos una combinación lineal de las funciones trigonométricas llegando)

2 : $y(t) = c_1 e^{r_1t} + c_2te^{r_1}t$ si $r_1 = r_2$.

En el caso 1 , sustituyendo $y(0) = 0$ da $c_1 + c_2 = 0$ y la combinación con el $y(1)=0$ da $e^{r_1} = e^{r_2}$$c_1 = -c_2$, lo $\color{red}{e^{r_1 t} = e^{r_2 t} \mbox{ for all } t}$ por lo tanto la solución es idéntica a cero.

En el caso 2, sustituyendo $y(0) = 0$ da $c_1 = 0$ y, a continuación, $y(1) = 0$ da $c_2 = 0$ así que la solución es idéntica a cero.

Definitivamente hay algo mal aquí. Me gustaría que la gente lo señala, ya que creo que he ciegamente se utiliza la fórmula que me ha dado aquí. Esta función se supone debe ser distinto de cero, al menos en los números enteros, y el hecho de que no más es proporcionado indicios de que hay soluciones no triviales.

EDIT : he encontrado el error, gracias a la gran gente de abajo. Usted puede encontrar el error en color rojo por encima.

Answer 1

Sugerencia. Tenga en cuenta que $y(x)=\sin(\pi x)$ es una solución de $$y'' - 2ay'+by = 0$$ al$a=0$$b=\pi^2$.

P. S. Por $r_1=i\pi$ $r_2=-i\pi$ tenemos que $e^{r_1} = e^{r_2}$, lo que no implica que $e^{tr_1} = e^{tr_2}$ para todos los verdaderos $t$.

Answer 2

En 1., para una solución no trivial con $f(0)=f(1)=0$ ha $c_1+c_2=0$ $c_1e^{r_1}+c_1e^{r_2}=0$ . Por lo tanto $c_2=-c_1\ne0$ y $c_1(1-e^{r_2-r_1})=0$. Esto significa que $r_2-r_1=2k\pi i$. Entonces podemos fácilmente obtener un $f(n)=0$.

No hay soluciones en el caso 2.

Answer 3

No tuvo en cuenta el caso de los complejos de autovalores. Usted obtener soluciones no triviales de esa manera. $$ y= e^{\alpha t}(c_1 \cos \beta t +c_2 \sin \beta t)$$ sujeto a $y(0)=y(1)=0$