Secuencia limitada $\{a_n\}_n$ tal que $a_n < \frac{a_{n−1} + a_{n+1}}{2}$ . Es $\{a_n\}_n$ ¿convergente?

Question

Dejemos que $\{a_n\}_n$ sea una secuencia de números en el intervalo $(0, 1)$ con la propiedad de que $$a_n < \frac{a_{n1} + a_{n+1}}{2}$$ para todos $n = 2, 3, 4,\dots$ . Demuestre que esta secuencia es convergente.

Mi intento:

Podemos escribir la desigualdad como

$a_n - a_{n-1} < a_{n+1} - a_n$

Así, la secuencia { $s_n$ } = $a_{n+1} - a_n$ es monótona y como -1< $s_n$ <1 , también está acotado y, por tanto, es convergente.

Secuencia { $a_n$ } está acotada y por la propiedad de Bolzano-Weierstrass tiene una subsecuencia convergente { $a_{n_k}$ }.

Aplicando la propiedad de la secuencia de Cauchy a esta subsecuencia convergente, tenemos para cada $\epsilon$ >0, hay $N_0$ , de tal manera que $|a_{n_l} - a_{n_k}|< \epsilon$ para todos $l>k>N_0$

Siento que desde aquí debería haber podido probar esto, pero lamentablemente estoy atascado. Por favor, ayuda.

Answer 1

Si $(a_n)_n$ tiene un límite superior finito $M$ entonces $(a_n)_n$ es decreciente, es decir $a_n\geq a_{n+1}$ para todos $n\geq 1$ . De lo contrario, $a_{n+1}>a_n$ para algunos $n$ y, para $k>1$ , $$M\geq a_{n+k}=(a_{n+k}-a_{n+k-1})+(a_{n+k-1}-a_{n-k-2})+\dots+(a_{n+1}-a_n)+a_n\\> k\underbrace{(a_{n+1}-a_n)}_{>0}+a_n\to +\infty$$ como $k\to +\infty$ . ¡Contradicción!

Answer 2

No estoy seguro de si $s_n \in (-1,1)$ pero está claro que $|s_n| \le |a_n| + |a_{n+1}| \le 1 + 1 = 2$ , por lo que todavía se tiene la convergencia de $s_n$ . Denote $s = \lim\limits_{n\to\infty} s_n$ .

• Si $s > 0$ , $s_N > 0$ para un tamaño suficientemente grande $N$ Así que $a_{n+1} = a_n + s_n > a_n$ para todos $n \ge N$ . $(a_n)$ es monótona y acotada, por lo que el Teorema de Convergencia Monótona implica que es convergente, pero $s_n = a_{n+1}-a_n \to 0$ como $n \to \infty$ contradicción.
• Un argumento similar muestra que $s$ no puede ser negativo.
• Así que $s = 0$ . Como $(s_n)$ es estrictamente creciente y converge a cero, $(s_n)$ es negativo. Esto demuestra que $(a_n)$ es estrictamente decreciente, por lo que el Teorema de Convergencia Monótona implica que es convergente.