La racionalidad de una potencia con exponente irracional

Question

El siguiente hecho que se conoce:

Si $a$ $b$ son ambos números irracionales, a continuación, $a^b$ puede ser un número racional.

Prueba. Supongamos $a^b$ es siempre irracional. A continuación, $\sqrt{2}^\sqrt{2}$ es un número irracional, que a su vez implica que $\left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2}$ también debe ser irracional. Sin embargo: $$ \left(\sqrt{2}^\sqrt{2}\right)^\sqrt{2} = \sqrt{2}^{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = 2 $$

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Ahora suponga $a$ es un racional número y $b$ es irracional. Me pregunto si $a^b$ puede ser un número racional. Cualquier forma de demostrar, o una referencia tal vez?

Answer 1

Deje $\log_a$ ser el logaritmo a la base de $a$. $$a^{\log_a c}=c$$ Si $$a^\frac{q}{p}=c$$ then $$a^q=c^p$$ and each prime that divides $un$ must divide $c$ and each prime that divides $c$ must divide $$. So if this is not the case then $\log_ac$ debe ser irracional.

Answer 2

$2^b = 3$ donde $b = \log_2(3)$ es irracional. De hecho, si $2^b = c$ donde $b$ $c$ son racionales, $b$ debe ser un entero.

Answer 3

Usted puede utilizar el Gelfond-Schneider teorema a demostrar que $a^b$ no sólo es irracional, pero trascendental. El teorema establece que:

Si $a$ $b$ son números algebraicos con $a ≠ 0,1$ $b$ no-racional, entonces cualquier valor de $a^b$ es un trascendental número.

Esto no sólo da lugar a trivial resultados que $2^{\sqrt 2}$ es irracional, pero a algunos más interesante. Por ejemplo, mediante la adopción de $a=-1$ $b=-i$ donde $i=\sqrt {-1}$, podemos obtener el siguiente resultado:

$$ (-1)^{-i} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = e^\pi, $$

mostrando que $e^\pi$ es trascendental.