Deje $S_n = \xi_1 + \cdots + \xi_n$ ser un paseo aleatorio y supongamos que $\phi(\theta_o) = \mathbb{E}\exp{\theta_o \xi_1} = 1$ algunos $\theta_o <0$ $\xi_i$ no es constante. Supongamos $\xi_i$ son valores enteros con $P(\xi_i < -1) = 0$, $P(\xi_i = -1) > 0 $ y $\mathbb{E}\xi_i > 0 $. Deje $ T = \inf\{n: S_n = a\}$$a<0$. El uso de la martingala $X_n = \exp\{\theta_o S_n\}$ a la conclusión de que la $P(T< \infty) = \exp\{-\theta_o a\}$.
Mi intento hasta ahora :
Desde $X_n$ es una martingala, $X_{n \wedge T}$ también es una martingala. Por lo tanto, $\mathbb{E}[X_{n \wedge T}] = 1$. Siguiente, $\mathbb{E}[\exp\{\theta_o (S_{n \wedge T} - a)\}]=\exp\{-\theta_0 a\}$
$\exp\{-\theta_0 a\} = \mathbb{E}[\mathbb{1}_{T<\infty}\exp\{\theta_o (S_{n \wedge T} - a)\}] + \mathbb{E}[\mathbb{1}_{T=\infty}\exp\{\theta_o (S_{n \wedge T} - a)\}] $
El primer término en la mano derecha plazo va a $\mathbb{P}(T<\infty)$ por el teorema de convergencia dominada desde $\mathbb{1}_{T<\infty}\exp\{\theta_o (S_{n \wedge T} - a)\}$ $\mathbb{1}_{T<\infty}\exp\{\theta_o (S_{T} - a)\} = \mathbb{1}_{T<\infty}$ casi seguramente y $\mathbb{1}_{T<\infty}\exp\{\theta_o (S_{n \wedge T} - a)\} < 1$ por la def de $T$.
Para concluir, me gustaría demostrar que $\mathbb{E}[\mathbb{1}_{T=\infty}\exp\{\theta_o (S_{n \wedge T} - a)\}] = \mathbb{E}[\mathbb{1}_{T=\infty}\exp\{\theta_o (S_{n} - a)\}]$ va a cero, como se $n$ va ir el infinito, pero no sé cómo proceede.
Hacer ver a otro enfoque a la conclusión de que el ejercicio ?
