Cómo es significativa la diferencia entre el promedio de los ángulos y el promedio de la unidad de vectores?

Question

Entiendo que numéricamente promedio de los ángulos (que voy a llamar a la $shortcut$ promedio por conveniencia) es, en general, va a producir un resultado diferente de la conversión a coordenadas cartesianas de la unidad de coordenadas, haciendo un promedio de los valores, la conversión a coordenadas polares, y después de conseguir el argumento (que voy a llamar a la $correct$ promedio). Voy a llamar a la diferencia entre estos resultados, el $error$.
Sin embargo, mi intuición me dice que cuanto más cerca de los ángulos son numéricamente, más cerca de la $shortcut$ promedio de los ángulos es el $correct$ promedio. El caso extremo de puntos en una línea, donde el ángulo entre ellos es proporcional a su distancia en línea recta, y el$error$$0$.

Me gustaría saber cómo significativas en el $error$ es entre el $correct$ $shortcut$ promedios, dependiendo de cómo numéricamente cerca de los ángulos, y, específicamente, cómo significativas en el $error$ es cuando los ángulos son dentro de una media vuelta de uno a otro (pero sin cruzar $0$).

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La motivación

Según lo sugerido por la manera en la que he denominado los métodos anteriores, el $shortcut$ es el método más simple de realizar y parece (por la inspección) para producir intuitiva de los resultados en algunos casos (es decir, cuando los ángulos son cerca); sin embargo no tengo la intuición para encontrar ejemplos para determinar si los valores producidos por este método es exactamente correcta, casi lo correcto, o, en realidad, muy incorrecto.
Además, si es correcto para los valores dentro de una media vuelta de uno a otro, me pregunto cómo esto puede ser explicado de una manera rigurosa.

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Apéndice a : método de acceso directo

Directamente el promedio de los ángulos:

$\bar\phi={1 \over n}\sum_{i=1}^{n}\phi_i$

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Apéndice B : método Correcto

La conversión al punto correspondiente en la unidad de círculo, encontrar el punto medio, para luego encontrar el ángulo de este punto:

$\bar\phi=arg({1 \over n} \sum_{k=1}^{n}e^{i\phi_k})$

Answer 1

Supongo que por "la conversión a coordenadas Cartesianas" te refieres a la construcción del vector de $(\cos\theta,\sin\theta)$, o, equivalentemente, el número complejo a $\exp i\theta,$ para un ángulo de $\theta$. Entonces la pregunta es equivalente a la comparación de los dos ángulos $\theta_s = \langle\theta\rangle$$\theta_c = \arg\langle\exp i\theta\rangle$, donde el ángulo entre paréntesis indica el promedio de todos los ángulos $\theta$. Para empezar, vamos a deshacernos de la $\arg$ por la conversión a coordenadas Cartesianas, una vez más, produciendo $z_s=\exp i\langle\theta\rangle$ frente al $z_c=\langle\exp i\theta\rangle$: ¿Cómo es la dirección de la media del ángulo de comparar a la media de la dirección de los ángulos? Por supuesto, debemos recordar a ignorar las magnitudes de los vectores en este caso, ya que sólo es la dirección en la que importa al final.

Sin pérdida de generalidad, podemos cambiar todos los ángulos para que su media es cero. A continuación,$z_s=\exp0=1$. Una simple observación es que si la distribución de los ángulos es simétrica alrededor de la media, es decir, por cada $\theta$ también hay un $-\theta$, $z_c$ es también puramente real, por lo que sus direcciones de acuerdo. Por tanto, para una distribución simétrica, no hay diferencia entre las dos cantidades.

Para una distribución general, podemos utilizar la serie de Taylor de $\exp$, lo que da $$\begin{align} z_c &= \left\langle 1+i\theta + \frac{i^2}{2!}\theta^2 + \frac{i^3}{3!}\theta^3 + \cdots\right\rangle \\ &= 1 + i\langle\theta\rangle - \frac{1}{2!}\langle\theta^2\rangle - \frac{i}{3!}\langle\theta^3\rangle + \cdots \\ &= \left(1 - \frac12\langle\theta^2\rangle + \cdots\right) + i\left(-\frac16\langle\theta^3\rangle + \cdots\right). \end{align}$$ Si los ángulos $\theta$ son pequeñas, el de mayor orden de los términos puede ser descuidado, y vemos que las direcciones de $z_c$ $z_s$ difieren en aproximadamente un ángulo de $\frac{\langle\theta^3\rangle/6}{1 - \langle\theta^2\rangle/2}$. Esto está relacionado con la asimetría de la distribución, $\gamma_1 = \langle\theta^3\rangle/\langle\theta^2\rangle^{3/2}$, que de hecho mide la desviación de la simetría.