Hechos y procedimiento

Question

Por lo que sé, la regla para distribuir los exponentes es como:

$$(a b)^x = a^x b^x$$

Por lo tanto, si $a = \sqrt 2$ y $b = \sqrt 3$, $ab = \sqrt 6$.

Sin embargo, la unidad imaginaria $i = \sqrt{-1}$ tiene un comportamiento diferente, porque si puedo tomar $a = -2$, $b = -3$ y $x = 1/2$:

$${[(-2) (-3)]}^{1/2} = (-2)^{1/2} (-3)^{1/2} = \sqrt{-2} \sqrt{-3} = i\sqrt 2 i \sqrt 3 = - \sqrt 6$$

Aunque, antes de que me enteré de los números complejos, pensé,

$${[(-2) (-3)]}^{1/2} = [6]^{1/2} = \sqrt 6$$

¿Qué estoy haciendo mal aquí y que es la respuesta correcta?

Answer 1

Aquí está otra versión de su argumento, con algunas respuestas.

Simplemente, tal regla no se aplica a los números complejos en general.

Respecto a su pregunta de la prueba, la escritura $i\sqrt{-1}$ tiene poco sentido. Cuando escribimos $\sqrt2$, estamos utilizando la convención de "la positiva número tal que su cuadrado es $2$". Cuando se desea que las raíces cuadradas de los $-1$, no hay ninguna manera obvia desde este punto de vista para distinguir entre el$i$$-i$. Lo que se suele hacer para evitar este problema es considerar $i$ como un número con $i^2=-1$.

Answer 2

La definición de $a^x$ en el análisis complejo es $\exp(x \log(a))$ donde $\log$ es el valor múltiple compleja (natural) logaritmo. Por lo tanto si $\text{Log}(a)$ es un valor de este logaritmo, los otros son de $\text{Log}(a) + 2 \pi i n$ arbitrarias enteros $n$.

Ahora la identidad de $(ab)^x = a^x b^x$ no es necesariamente cierto. En su lugar $$ (ab)^x = a^x b^x \exp(2 \pi i n x)$$

Answer 3

Cuando usted se mueve en el complejo arena, no exponentes de números enteros pueden producir múltiples respuestas.

Los errores y contradicciones que surgen cuando se supone que la respuesta es el valor principal. Cuando obligas a ti mismo a positivo reales elevado a un valor real, la principal respuesta es la única respuesta y por lo tanto la respuesta correcta. Esto hace que las reglas de uso seguro.

En el caso de la $i\sqrt{-1}$ pregunta es ambigua porque no se puede saber si la raíz cuadrada significa que el valor principal (que normalmente es la convención) o si se debe tener un $\pm$ frente a ella.

Si usted es consciente de las múltiples posibilidades (mediante la inclusión de un factor de $e^{i2\pi}$ en su base(s)), o de alguna manera se puede calificar la gama de sus respuestas, las reglas pueden ser utilizados.

Ced