¿La suma de dos primos únicos es siempre única? Es decir, ¿es una función inyectiva sobre números enteros? Por ejemplo, $89 + 2 = 91$ y no hay otra suma de dos primos diferentes que sea igual a $91$ .
Hacía mucho tiempo que no hacía una prueba en condiciones pero por primera vez lo he comprobado programáticamente $10^4$ primos y parece que se cumple. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo?
PD: Esto era cierto por definición si era multiplicación, pero no veo la conexión de la definición con la suma.
Todo lo que necesitas hacer es encontrar dos primos $p$ y $q$ tal que $p+a$ y $q+a$ son ambos primos (oh y $p+a\neq q$ ) .
En el reverso de un sobre, por así decirlo, recibo
\begin{array}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r} & 3 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 \\ \hline 2 & 5 & 7 & 9 & 13 & 15 & 19 & 21 & 25 & 31 \\ 3 & & 8 & 10 & 14 & 16 & 20 & 22 & 26 & 32 \\ 5 & & & 12 & 16 & 18 & 22 & 24 & 28 & 34 \\ 7 & & & & 18 & 20 & 24 & 26 & 30 & 36 \\ 11 & & & & & 24 & 28 & 30 & 34 & 40 \\ 13 & & & & & & 30 & 32 & 36 & 42 \\ 17 & & & & & & & 36 & 40 & 46 \\ 19 & & & & & & & & 42 & 48 \\ 23 & & & & & & & & & 52 \\ \end{array}
Así pues, los números impar parecen ser únicos. En cambio, los números pares muestran muchas repeticiones: El 16 aparece dos veces en la tabla, al igual que el 18, el 20 y el 22. El 24 aparece tres veces. Y el 24 aparece tres veces, al igual que el 30. Con una columna más, el 36 aparecería cuatro veces.
Antes de dar una prueba adecuada de la aparente unicidad de los números pares de la tabla anterior, necesitamos ponernos de acuerdo en nuestras definiciones.
Si $n$ es un número impar y existen primos positivos distintos $p$ y $q$ tal que $p + q = n$ entonces ese par de primos es el único par de primos con esa suma. O bien $p = 2$ o $q = 2$ .
Um... sabes, mientras escribo eso, una prueba formal me parece exagerada.
¿Eh? ¿¡Qué!? ¿Has oído hablar de la conjetura de Goldbach?
¿La suma de dos primos únicos es siempre única?
No, en absoluto. De hecho, si $n$ es un número entero par mayor que $38$ probablemente sea la suma de dos primos distintos en más de un sentido. Por ejemplo, $$40 = 37 + 3 = 29 + 11 = 23 + 17.$$
La situación es diferente para los números impar, por supuesto. Si $n$ es impar, sólo hay una forma, o ninguna, de representarlo como suma de dos primos distintos. Es decir, si $n = p + 2$ donde $p$ es un primo impar. Así que con $91$ observó que $89 + 2 = 91$ . Pero no existe tal expresión para $87$ ya que $85$ obviamente no es primo.
Sin embargo, si permite $-2$ entonces $87 = 89 + (-2)$ . Esto no refuerza ni socava mi fe en la conjetura de Goldbach.
No estoy seguro de que la conjetura de Goldbach entre en juego. Si la CG es cierta, todo número par es la suma de dos primos, pero la conjetura no dice nada sobre si estas sumas son únicas o no. (Aunque no es difícil encontrar un contraejemplo.
Si $n$ es impar y $n = a+b$ entonces uno de $a$ o $b$ es par. $2$ es el único primo par por lo que si $n = p+q$ donde $p,q$ son primos y $n$ es impar, debe ser que $n= p+2$ .
Oh, sólo para ser....
Deje $p_1,q_2 = p_1 + 2$ ser de un par de gemelos de los números primos. Deje $p_2,q_2 = p_2 + 2$ ser otro par.
A continuación,$p_1 + q_2 = p_2 + q_1=p_1 + p_2 + 2$.
Primera doble prime es $3,5$ y el segundo es$5,7$$3+7 = 5+5$.
Se cree que hay infinito de los números primos gemelos....
Se puede demostrar que hay infinitos primos sin conjeturas, basta con asegurar que un $a$ existe tal que infinitos pares de primos $p,p+a$ existen, esto fue demostrado por yitang zhang.
No hace falta conjeturar nada, basta con un contraejemplo. Al publicar esta respuesta lo hice medio en broma, pero la idea era que, en lugar de tropezar con contraejemplos (algo muy fácil), podemos buscarlos sistemáticamente. Además, en una respuesta se mencionaba la conjetura de Goldbach como una famosa conjetura probablemente cierta que obviamente refuta la afirmación (lo cual no es cierto). En su lugar, la conjetura de los primos gemelos, igual o más conocida, fait contradicen la declaración.
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"y no hay otra suma de dos primos diferentes que sea igual a 91." Bueno, 2 es el único primo par y 91 es un número impar así que...
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Entonces... ¿qué? ¿Hay alguna prueba para esta afirmación si añadimos que la suma debe ser impar o un primo? @fleablood
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Bueno... sí... Para enteros si $a + b$ es impar entonces uno de $a$ o $b$ debe ser incluso....
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Una continuación natural sería "¿hay infinitos números enteros que puedan escribirse al menos de dos maneras como suma de dos primos distintos?".
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Mira también algo como A117929 . Tenga en cuenta que hay un enlace, T. D. Noe, Tabla de n, a(n) para n = 1..10000 . Tan pronto como $n$ se hace grande, se ve el patrón de que cuando $n$ como par, hay muchas formas de escribirlo como suma de dos primos distintos. Cuando $n$ es impar, o bien no hay caminos, o bien hay un único camino (cuando $n$ es dos mayor que un primo impar). Adición: No se conoce ninguna prueba de que el patrón para incluso $n$ no tiene excepciones (conjetura de Goldbach).