Cálculo de un determinante.

Question

$D_n$=\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & \cdots &0&0& n-1 \\ 0 & a & 0 & \cdots &0&0& n-2\\ 0 & 0 & a & \ddots &0&0& n-3 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots& 0&2 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots &0&a&1 \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 2 & 1& a\\ \end{vmatrix}

Traté de obtener los valores propios de A =

\begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots &0&0& n-1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0&0& n-2\\ 0 & 0 & 0 & \ddots &0&0& n-3 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots&\vdots&\vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots& 0&2 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots &0&0&1 \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & 2 & 1& 0\\ \end{vmatrix}

Para $a=0$ , el rango de la matriz es $2$ , por lo tanto $\dim(\ker(A)) = n-2 $

$m(0)>=n-2$

Sin embargo, yo no era capaz de determinar los otros autovalores.

Las pruebas para diferentes valores de n :

para $n=2$ :

$D_2 = a^2-1$

para $n=3$ :

$D_3 = a^3 -5a$

$D_n$ parece ser igual a $a^n - a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}i^2$ .

Sin embargo soy consciente de que las pruebas para diferentes valores de $n$ no es suficiente para generalizar la fórmula.

Gracias de antemano.

Answer 1

Expanda con respecto a la primera línea: el plazo obtenidos con $a$$aD_{n-1}$. Para la segunda, obtenemos $(-1)^{n+1}$ veces un factor determinante que puede ser ampliado con respecto a la primera columna. Esto conducirá a la relación de recurrencia $$ D_n=aD_{n-1}-\left(n-1\right)^2a^{n-2}. $$ Dejando $b_n:=a^{-n}D_n$ $a\neq 0$ permite sacar y más fácil de la recurrencia de la relación cuya resolución muestra que la fórmula mencionada en el post de apertura, es decir, $$ D_n=a^n - a^{n-2}\sum_{i=1}^{n-1}i^2, $$ es correcto.

Answer 2

Desarrollar con respecto a la primera columna. Entonces $$ \begin{aligned} D_n &= aD_{n-1} -(n-1)\cdot (n-1)\cdot a^{n-2} \\ &=aD_{n-1}-(n-1)^2a^{n-2}\ . \end{aligned} $$ Esta recursividad, junto con $D_1=a$ da de $n\ge 2$ la solución $$ D_n= (^2-(1^2+2^2+\puntos+(n-1)^2)^{n-2}\ . $$ (La suma en el primer factor tiene un circuito cerrado de fórmula.)

Answer 3

Usted puede ir para calcular el polinomio característico $\chi_{-A}$ de menos la matriz $A$ (uno en $a=0$), luego su determinante se $\chi_{-A}[a]$. Como usted ya ha encontrado que el rango de $A$ $~2$ (si $n\geq2$; de lo contrario es $0$) de los coeficientes de $\chi_{-A}$ en todos los grados menos de $n-2$ cero (como su coeficiente de grado $n-r$ es la suma de todos los principales $r$-menores de$~A$. Desde $A$ cero, con una traza, una ha $$\chi_{-A}=X^n+0x^{n-1}+c_nX^{n-1}$$ where $c_n$ is the sum of all principal $2$-minors of$~Un$, que se ve fácilmente ser $$ c_n=-\sum_{k=0}^{n-1}k^2=-\frac{2n^3-3n^2+n}6.$$ Por lo tanto,$\det(D_n)=a^n+c_na^{n-2}=a^{n-2}(a^2+c_n)$, como habrá adivinado (con $c_n\leq0$, por lo que las raíces de $\chi_{-A}$ real: $\pm\sqrt{-c_n}$ $0$ con multiplicidad $n-2$).

Answer 4

Para buscar otros valores de $x$ además $0$ para los que $$ \det \begin{bmatrix} x & 0 & 0 & \cdots & n-1 \\ 0 & x & 0 & \cdots & n-2 \\ 0 & 0 & x & \cdots & n-3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ n-1 & n-2 & n-3 & \cdots & x \end{bmatrix} = 0 $$ considere la posibilidad de tomar $\frac{n-1}{x}$ veces la primera fila, además de a $\frac{n-2}{x}$ los tiempos de la segunda fila, además de a $\frac{n-3}{x}$ los tiempos de la tercera, y así sucesivamente, sobre la base de que obtendrá un vector fila que es igual a la última fila en su primera $n-1$ entradas.

Su última entrada va a ser $\frac{(n-1)^2 + (n-2)^2 + \dots + 2^2 + 1^2}{x} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6x}$. Así que si esto pasa a ser igual a $x$, luego de la última fila es combinación lineal de las otras filas, lo que significa que el factor determinante es $0$.

Hay dos valores de $x$ que funciona: las dos raíces cuadradas de $\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$. Esto nos da los últimos dos autovalores: la totalidad de la lista es $$ un, un, \dots, un, un - \sqrt{\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}} + \sqrt{\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}} $$ y su producto es de $$ a^{n-2}\left(a^2 - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}\right) $$ como usted cree.

Answer 5

Es tal vez un poco más fácil el uso de la matriz determinante de la fórmula. Si reescribir su matriz como

$$ M = aI +UV^T $$ donde $UV^T$ es $$ \begin{bmatrix} (n-1) &0\\ (n-2) &0\\ \vdots&0\\ 1 &0\\ 0&1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0&0&\cdots&1\\ (n-1)&(n-2)&\cdots&0 \end{bmatrix} $$

Luego, a partir de $$ \operatorname{det}({\mathbf{A}}+{\mathbf {UV}}^{{\mathrm {T}}})=\operatorname {det}({\mathbf{I}}+{\mathbf {V}}^{{\mathrm {T}}}{\mathbf {A}}^{{-1}}{\mathbf {U}})\operatorname {det}({\mathbf {A}}). $$ y $\mathbf{A}^{-1}=\frac1aI$, sólo tenemos un $2\times 2$ determinante para evaluar: $$ \det(M) = \left|\begin{matrix}1&\frac{1}{a}\\\displaystyle\frac{1}{a}\sum_{i=1}^{n-1}i^2&1\end{de la matriz}\right|^n = (1-\frac{1}{a^2}\sum_{i=1}^{n-1}i^2)^n $$