Minimizar $(a\cdot b)(b\cdot c)(c\cdot a)$

Question

Cuando $a$, $b$, y $c$ son vectores unitarios, ¿cuál es el mínimo valor de $(a\cdot b)(b\cdot c)(c\cdot a)$?

Si los tres vectores son coplanarios y mutuamente separados por $120^\circ$, entonces obtenemos un valor de $(-\frac12)^3=-\frac18$. La sustitución de cualquier vector con su negativa produce otra configuración con el mismo valor. Suponemos que este es el mínimo. ¿Cómo puedo demostrarlo?

Equivalentemente, quiero demostrar que: $$\|a\|^2\|b\|^2\|c\|^2+8(a\cdot b)(b\cdot c)(c\cdot a)\ge0$$for all (not necessarily unit) vectors, with equality iff the three vectors are coplanar and the pairwise angles are each either $120^\circ$ or $60^\circ$.

Una solución obvia es el uso de Cauchy–Schwartz desigualdad, $-{\|a\|}{\|b\|}\le a\cdot b\le{\|a\|}{\|b\|}$. Sin embargo, sólo obtenemos la igualdad en la que el límite inferior al $a$ $b$ son antiparalelas.

La aplicación de Cauchy–Schwartz para cada una de las tres desigualdades, obtenemos: $$-\|a\|^2\|b\|^2\|c\|^2\le(a\cdot b)(b\cdot c)(c\cdot a)$$ Para la unidad de vectores, nos dice que le gustaría obtener un valor mínimo de $-1$ si los tres vectores mutuamente antiparalela. Sin embargo, esto es imposible de configuración. Así de Cauchy–Schwartz parece inútil.

Hay un (esperemos primaria) para demostrar la desigualdad anterior, y confirmar que, al $\|a\|=\|b\|=\|c\|=1$, el valor mínimo de $(a\cdot b)(b\cdot c)(c\cdot a)$$\frac18$?

Answer 1

SUGERENCIA

Indicando con $0\le\alpha,\beta,\gamma\le \pi$ los ángulos entre cada par de los tres vectores, la condición es equivalente a minimizar

• $\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma$

en virtud de la restricción

• $\alpha+\beta+\gamma=a$ $0\le a\le 2\pi$

Por multiplicadores de Lagrange nos encontramos

• $-\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma=\lambda$
• $-\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma=\lambda$
• $-\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma=\lambda$

lo que implica que el mínimo se alcanza cuando

• $\alpha=\beta=\gamma=\frac a 3$

por lo tanto el valor extremo es

• $\cos^3 \frac a 3\implies \cos^3 \frac {2\pi} 3=-\frac18$

Answer 2

Desde el interior de la identidad del producto (a veces se toma así como una definición) de la siguiente manera $$(a\cdot b)=||a||a||b||\cos\theta_1\\ (b\cdot c)=||b|||c||\cos\theta_2\\ (c\cdot a)=||c||||||\cos\theta_3$$ donde $\theta_1,\theta_2,\theta_3$ son los ángulos entre los vectores. Todos los tres vectores pueden ser coplanares, pero no tienen de lo que debe ser el caso que $0\leqslant \theta_1+\theta_2+\theta_3\leqslant 2\pi$ (si coplanares, entonces su suma es, de hecho,$2\pi$). Por lo que su original, la desigualdad se convierte en $$||a||^2||b||^2||c||^2+8(a\cdot b)(b\cdot c)(c\cdot a)\geqslant 0\Leftrightarrow ||a||^2||b||^2||c||^2(1+8\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3)\geqslant 0$$ Considere el problema minization $$\min_{\theta\in\mathbb{R}^3}f(\theta):=||a||^2||b||^2||c||^2(1+8\cos\theta_1\cos\theta_2\cos\theta_3)$$ sujeto a $$0\leqslant \theta_1+\theta_2+\theta_3\leqslant 2\pi$$ El Lagrangiano de definir a ser $$L(\theta,\lambda,\mu):=f(\theta)+\lambda(2\pi-\theta_1-\theta_2-\theta_3)+\mu(-\theta_1-\theta_2-\theta_3)$$ Las condiciones de primer orden implicaría $$f_{\theta_1}=f_{\theta_2}=f_{\theta_3}=\lambda+\mu$$ y desidia de las condiciones de $$\lambda(2\pi-\theta_1-\theta_2-\theta_3)=\mu(-\theta_1-\theta_2-\theta_3)=0$$ and $\lambda,\mu\geqslant 0$. From the first order condition equation one gets $$\tan\theta_1=\tan\theta_2=\tan\theta_3$$ Usted puede considerar todos los casos $\{\theta_1=\theta_2=\theta_3,\theta_1=\theta_2=\theta_3+\pi,\text{etc}...\}$. Por ejemplo, cuando $\theta_1=\theta_2=\theta_3$ claramente la miminium se encuentra en $2\pi\geqslant\theta>\pi/2$ (en realidad es alcanzado cuando se $\theta=2\pi/3$. Usted necesita para descartar otros casos, si es posible.