¿Cómo se visualizan los grupos fundamentales finitos no triviales?

Question

Me parece contraintuitivo visualizar grupos fundamentales finitos.

Por ejemplo, el grupo fundamental del plano proyectivo real es un grupo con dos elementos. Eso significa que hay dos tipos de bucles, uno que no puedes reducir a un punto, y el otro, que sí puedes. Pero entonces, si atraviesas este bucle no trivial dos veces, terminas con algo que puede ser homotopado al bucle trivial.

¿Hay alguna forma de visualizar esto? ¿Existe alguna forma de visualizar el plano proyectivo? (Solía pensar que el plano proyectivo es como el universo pacman, pero el universo pacman es más bien un toroide). ¿Hay alguna superficie visualizable donde pueda ver este efecto fácilmente?

Answer 1

El plano proyectivo real puede verse como un cuadrado [0,1]x[0,1] con las aristas identificadas como en el diagrama anterior. Sea b nuestro punto base. El bucle verde que atraviesa el cuadrado desde la "b" de la parte inferior izquierda hasta la "b" de la parte superior derecha (que están identificadas) no puede ser homotópico respecto a sus extremos con el bucle trivial. Sin embargo, si lo componemos con el bucle azul, el extremo de la línea verde ya no tiene que pegarse a 'b' durante una homotopía relativa a los puntos extremos, por lo que podemos 'separarlo' como en la figura de la derecha y entonces éste se homotopiza claramente al bucle trivial.

Para aclarar, el bucle azul (aunque no lo parezca en mi foto) es el mismo bucle que el verde, si te imaginas dibujando el verde, luego girando hacia el lado opuesto del cuadrado, y luego dibujando el mismo bucle.