Se $0$ $\pm1$ el único entero soluciones para que tanto $\sqrt{24n^2+1}$ $\sqrt{48n^2+1}$ son simultáneamente los números enteros ?
Meditando sobre el concepto Bíblico de el año del Jubileo, yo no pude dejar de notar que un período de tiempo de $7^2=49$ años, aparte de la aproximación de la mitad de un decimal siglo de $10^2=100$ años, también se encuentra visiblemente cerca de un tercio de un duodecimal "siglo" de $12^2=144$ años. En otras palabras, me quedé con resolver el sistema de ecuaciones Diophantine $$\dfrac{x^2}3+1~=~y^2~=~\dfrac{z^2}2-1,$$ which, after a bit of basic number theory, boiled down to the system of Pell equations described above. Then, a Mathematica search of depth up to $10^4$ into the $($ periodic $)$ continued fraction expansion of $~\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt{\dfrac{48n^2+1}{24n^2+1}}~=~\sqrt2~$ failed to reveal any other solutions, save for the ones mentioned earlier, implying that any other possible values of n possess at least $3,828$ dígitos.
Un $2007$ papel por Mihai Cipu y Maurice Mignotte demuestra que no podría ser en la mayoría de los una de esas solución positiva, para $n>1.$
En el mismo año, el $34^{th}$ en el volumen de los Annales Mathematicae et Informaticae, publicado por la Eszterhazy Karoly de la Universidad de Ciencias Aplicadas, contiene un relevante papel por Laszlo Szalay en la resolución simultánea de ecuaciones de Pell.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Agregado: desde Cipu y Mignotte, el primer sistema de espera que tienen dos soluciones positivas, una pieza de $\color{red}{x^2 - 24 z^2 = 1},$ usa $490^2 - 1 = 240099.$ $$ 5^2 - 24 \cdot 1^2 = 1 \; , \; \; \; 490^2 - 240099 \cdot 1^2 = 1 $$ $$ 4801^2 - 24 \cdot 980^2 = 1 \; , \; \; \; 480199^2 - 240099 \cdot 980^2 = 1 $$
The first system expected to have two positive solutions, one piece $\color{red}{x^2 - 48 z^2 = 1},$ uses $1358^2 - 1 = 1844163.$ $$ 7^2 - 48 \cdot 1^2 = 1 \; , \; \; \; 1358^2 - 1844163 \cdot 1^2 = 1 $$ $$ 18817^2 - 48 \cdot 2716^2 = 1 \; , \; \; \; 3688327^2 -1844163 \cdot 2716^2 = 1 $$ $$ $$ $$ $$
I ran the thing for my $j \leq 1148961$ with $k \leq 1000000,$ o $$ x \approx y \approx \color{magenta}{10^{1143895}} $$ no coincide con
Probablemente la forma más precisa para la búsqueda de aritmética de enteros, con un poco de astucia para mantener un seguimiento de los comparables subíndices $j,k$ a fin de no perder el tiempo comparando $x_j$ $y_k$ cuando la relación no puede estar cerca de $1.$
Segundo intento: como sólo hay dos secuencias, con el fin de evitar el almacenamiento de largos tramos, que sólo podría ejecutar secuencias de algunos términos. Entonces, si el actual $x_j < y_k,$ más términos de $x_j$ hasta que se haya superado el estacionarios $y_k.$ el Próximo, aumentar el $k$ hasta $y_k$ es mayor. El equipo no necesita ningún arreglo, solo tres x en términos de y tres y términos.
Usted está preguntando si estas dos secuencias tienen elementos de más de $1$ en común:
$$ 0, 1, 10, 99, 980, 9701, 96030, ... $$ $$ x_{j+2} = 10 x_{j+1} - x_j $$
$$ 0, 1, 14, 195, 2716, 37829, 526890, ... $$ $$ y_{k+2} = 14 y_{k+1} - y_k $$
================================
Thu May 3 10:02:52 PDT 2018
j 3 x 99
k 3 y 195
j 4 x 980
k 4 y 2716
j 5 x 9701
k 5 y 37829
j 6 x 96030
k 6 y 526890
j 7 x 950599
k 7 y 7338631
j 8 x 9409960
k 8 y 102213944
j 10 x 922080050
k 9 y 1423656585
j 11 x 9127651499
k 10 y 19828978246
j 12 x 90354434940
k 11 y 276182038859
j 13 x 894416697901
k 12 y 3846719565780
j 14 x 8853812544070
k 13 y 53577891882061
j 15 x 87643708742799
k 14 y 746243766783074
j 16 x 867583274883920
k 15 y 10393834843080975
j 18 x 85014307126080090
k 16 y 144767444036350576
j 19 x 841554882220704499
k 17 y 2016350381665827089
j 20 x 8330534515080964900
k 18 y 28084137899285228670
j 21 x 82463790268588944501
k 19 y 391161580208327374291
j 22 x 816307368170808480110
k 20 y 5448177985017298011404
j 23 x 8080609891439495856599
k 21 y 75883330210033844785365
j 24 x 79989791546224150085880
k 22 y 1056918444955456528983706
j 26 x 7838183264161795899936130
k 23 y 14720974899166357560986519
j 27 x 77590015336047156994359099
k 24 y 205036730143373549324827560
j 28 x 768061970096309774043654860
k 25 y 2855793247108063332986599321
j 29 x 7603029685627050583442189501
k 26 y 39776068729369513112487562934
j 30 x 75262234886174196060378240150
k 27 y 554009168964065120241839281755
j 31 x 745019319176114910020340211999
k 28 y 7716352296767542170273262381636
j 33 x 73004290249573634131409898586401
k 29 y 107474922985781525263583834061149
j 34 x 722667971538861366409955961984170
k 30 y 1496932569504173811519900414474450
j 35 x 7153675425139040029968149721255299
k 31 y 20849581050072651836015021968581151
j 36 x 70814086279851538933271541250568820
k 32 y 290397202131512951892690407145661664
j 37 x 700987187373376349302747262784432901
k 33 y 4044711248791108674661650678070682145
j 38 x 6939057787453911954094201086593760190
k 34 y 56335560280944008493370419085843888366
j 39 x 68689590687165743191639263603153168999
k 35 y 784653132684425010232524216523743754979
j 41 x 6730878900154869456431345085846226129001
k 36 y 10928808297301006134761968612246568681340
j 42 x 66628832152464491044351152423517323360210
k 37 y 152218663029529660876435036354928217783781
j 43 x 659557442624490040987080179149327007473099
k 38 y 2120132474116114246135328540356748480291594
j 44 x 6528945594092435918826450639069752751370780
k 39 y 29529635974596069785018164528639550506298535
j 45 x 64629898498299869147277426211548200506234701
k 40 y 411294771170228862744118974860596958607887896
j 46 x 639770039388906255553947811476412252310976230
k 41 y 5728597160408608008632647483519717870004132009
j 47 x 6333070495390762686392200688552574322603527599
k 42 y 79789065474550283258112945794415453221449960230
j 49 x 620576278649796443397288390051940735414639470001
k 43 y 1111318319483295357604948593638296627230295311211
j 50 x 6143071851583445713364515841445358023172670400250
k 44 y 15478667407291584723211167365141737328002684396724
j 51 x 60810142237184660690247870024401639496312064532499
k 45 y 215590025382598890767351394518346025964807286242925
j 52 x 601958350520263161189114184402571036939947974924740
k 46 y 3002781687949092886019708355891702626179299323004226
j 53 x 5958773362965446951200893974001308729903167684714901
k 47 y 41823353605904701513508565587965490740545383235816239
j 54 x 58985775279134206350819825555610516262091728872224270
k 48 y 582524168794716728303100209875625167741456065978423120
j 55 x 583898979428376616556997361582103853891014121037527799
k 49 y 8113515009520129494729894372670786857639839540462107441
j 57 x 57216141210617942975634540541072176372589480693993009401
k 50 y 113006685964487096197915421007515390839216297500491081054
j 58 x 566381408087174797797126251620456335703246757458427040290
k 51 y 1573980088493299217276085999732544684891388325466413027315
j 59 x 5606597939661130034995627975663491180659878093890277393499
k 52 y 21922714552941701945667288575248110197640220259029291301356
j 60 x 55499597988524125552159153505014455470895534181444346894700
k 53 y 305344023652690528022065954053740998082071695300943665191669
j 61 x 549389381945580125486595907074481063528295463720553191553501
k 54 y 4252893616584725690363256068177125862951363513954182021382010
j 62 x 5438394221467277129313799917239796179812059103024087568640310
k 55 y 59235166608533469137063519000426021083237017500057604634156471
j 64 x 532907134105804634547200232735995011166110896562179137379855680
k 56 y 825039438902883842228526009937787169302366881486852282856808584
j 65 x 5275236788225319154304350924094626630926516670055271051303707201
k 57 y 11491316978031840322062300620128594349149899323315874355361163705
j 66 x 52219460748147386908496309008210271298099055803990531375657216330
k 58 y 160053398253542880666643682671862533718796223644935388692199483286
j 67 x 516919370693248549930658739158008086350064041369850042705268456099
k 59 y 2229256258571568489010949256785946877713997231705779567335431602299
j 68 x 5116974246184338112398091082571870592202541357894509895677027344660
k 60 y 31049534221748415965486645912331393754277165020235978554003842948900
j 69 x 50652823091150132574050252086560697835675349537575248914065004990501
k 61 y 432464222845906255027802093515853565682166313051597920188718369682301
j 70 x 501411256665316987628104429783035107764550954017857979244973022560350
k 62 y 6023449585620939154423742663309618525796051217702134904088053332603314
j 72 x 49133186178954880449441836027654868690333790952392187456111679183569640
k 63 y 83895829975847241906904595192818805795462550734778290737044028286764095
j 73 x 486368402045986784750711366230804896523528075333280870017581126615083401
k 64 y 1168518170076240447542240590036153662610679659069193935414528342682094016
j 74 x 4814550834280912967057671826280394096544946962380416512719699586967264370
k 65 y 16275358551091519023684463665313332470754052676233936805066352769262552129
j 75 x 47659139940763142885826006896573136068925941548470884257179414743057560299
k 66 y 226686501545205025884040250724350500927946057808205921335514410426993635790
j 76 x 471776848573350515891202397139450966592714468522328426059074447843608338620
k 67 y 3157335663081778843352879046475593680520490756638648961892135393208648348931
j 77 x 4670109345792742016026197964497936529858218743674813376333565063693025825901
k 68 y 43976012781599698781056266399933961026358924535132879545154381094494083249244
j 78 x 46229316609354069644370777247839914331989472968225805337276576189086649920390
k 69 y 612506843279314004091434850552599860688504452735221664670269199929708517140485
j 80 x 4530001250868125474632444967891172153568375636417606594627045392082648083859600
k 70 y 8531119793128796358499031641336464088612703413757970425838614417921425156717546
j 81 x 44842389451933506791896768104397820328893719853237482706274021723999307365218001
k 71 y 118823170260523835014895008128157897379889343339876364297070332650970243676905159
j 82 x 443893893268466942444335236076087031135368822895957220468113171847910425568320410
k 72 y 1654993263854204893850031082152874099229838103344511129733146042695661986319954680
j 83 x 4394096543232735917651455592656472491024794509106334721974857696755104948317986099
k 73 y 23051082523698344678885540142012079491837844103483279451966974265088297564802460361
j 84 x 43497071539058892234070220690488637879112576268167389999280463795703139057611540580
k 74 y 321060162067922620610547530906016238786499979345421401197804493668540503920914490374
j 85 x 430576618847356186423050751312229906300100968172567565270829780260276285627797419701
k 75 y 4471791186427218343868779892542215263519161866732416337317295937094478757328000404875
j 87 x 42192114550497673533541322173005874344918870086402515061819343607810320886575829144599
k 76 y 62284016447913134193552370964684997450481766154908407321244338625654162098671091177876
j 88 x 417658876388042232363416784437626933024066803758567642355484418739296149148537928789560
k 77 y 867504439084356660365864413613047749043225564301985286160103444822063790624067276085389
j 89 x 4134396649329924650100626522203263455895749167499273908493024843785151170598803458751001
k 78 y 12082778130733080110928549419617983489154676134072885598920203888883238906638270774017570
j 90 x 40926307616911204268642848437595007625933424871234171442574764019112215556839496658720450
k 79 y 168291389391178764892633827461038721099122240312718413098722750999543280902311723560160591
j 91 x 405128679519782118036327857853746812803438499544842440517254615347337004397796163128453499
k 80 y 2343996673345769628385945035034924111898556688243984897783198310104722693725725859068230704
j 92 x 4010360487580909976094635730099873120408451570577190233729971389454257828421122134625814540
k 81 y 32647662037449596032510596663027898845480671395103070155866053590466574431257850303395069265
j 93 x 39698476196289317642910029443144984391281077206227059896782459279195241279813425183129691901
k 82 y 454723271850948574826762408247355659724830842843198997284341551956427319343884178388462739006
j 95 x 3890045538556833346887146557570354723532742127710707027444163754745786308417317871783581352799
k 83 y 6333478143875830451542163118799951337302151128409682891824915673799515896383120647135083276819
j 96 x 38507480984093021202418459917002197264535018956615376865707542926055364929203465588139142423520
k 84 y 88213970742410677746763521254951963062505284954892361488264477881236795230019804881502703136460
j 97 x 381184764302373378677297452612451617921817447438443061629631265505807862983617338009607842882401
k 85 y 1228662112249873658003147134450527531537771838240083377943877774663515617323894147693902760633621
j 98 x 3773340162039640765570556066207513981953639455427815239430605112132023264906969914507939286400490
k 86 y 17113055600755820534297296361052433478466300450406274929726024367407981847304498262833135945734234
j 99 x 37352216856094034277028263209462688201614577106839709332676419855814424786086081807069785021122499
k 87 y 238354116298331613822159001920283541166990434467447765638220463369048230244939081531970000479645655
j 100 x 369748828398900702004712076028419368034192131612969278087333593446012224595953848156189910924824500
k 88 y 3319844572575886772975928730522917142859399782093862444005360462799267241581842643184746870769304936
Thu May 3 10:02:52 PDT 2018
==================================
int main()
{
system("date");
mpz_class x, xx, xxx;
mpz_class y,yy,yyy;
x = 10; xx = 1;
y = 14; yy = 1;
mpz_class j,k;
j = 2;
k = 2;
int goon = 1;
while ( goon && j < 100)
{
while (goon && x < y)
{
xxx = 10 * x - xx ;
xx = x;
x = xxx;
++j;
}
cout << " j " << j << " x " << x << endl;
if( x == y)
{
cout << " WOW " << endl;
goon = 0 ;
}
while( goon && y < x)
{
yyy = 14 * y - yy;
yy = y;
y = yyy;
++k ;
}
cout << " k " << k << " y " << y << endl;
if( x == y)
{
cout << " WOW " << endl;
goon = 0 ;
}
}
system("date");
return 0;
}
==================================
No respuesta, sin embargo, sólo un comentario. Yo no era capaz de llegar a una respuesta, pero este trabajo puede dar a alguien con más experiencia que me de una idea de cómo proceder
Paso a: Vamos a denotar la expresión con el multiplicador $24$ como la ecuación de diophantine $$ 24x^2 +1 = t^2$$ y nos fijamos en el conjunto de la $x_h$ natural índice de $h \ge 0$ tal que se obtiene un conjunto de cuadrados perfectos de $t_h$
Ese conjunto es $X=\{0,1,10,99,980,... x_h,...\}$ y podemos encontrar
la recursividad-fórmula $x_{h+2}=10 x_{h+1} - 1 x_h $ comienzan con $x_0=0,x_1=1$ o
el $\sinh()$ usando la fórmula de las siguientes constantes: $s_q=\sqrt{5^2-1}$ , $q = 5 + s_q$, $\quad l_q= \ln q$ y, a continuación, $$x_h=f(h)=\sinh(l_q \cdot h)/s_q $ $
Paso b: podemos hacer lo mismo con la expresión con $48$ como multiplicador: $$ 48y^2 +1 = u^2$$ y nos fijamos en el conjunto de la $y_i$ natural índice de $i \ge 0$ tal que se obtiene un conjunto de cuadrados perfectos de $u_i$
Ese conjunto es $Y=\{0,1,14,195,2716,... y_i,...\}$ y podemos encontrar
la recursividad-fórmula $y_{i+2}=14 \cdot y_{i+1} - 1 y_i $ comienzan con $y_0=0,y_1=1$ o
el $\sinh()$ usando la fórmula de las siguientes constantes: $s_r=\sqrt{7^2-1}$ , $r = 7 + s_r$, $\quad l_r= \ln r$ y, a continuación, $$y_i=g(i)=\sinh(l_r \cdot i)/s_r $ $
Paso c: Ahora veo dos opciones, pero no puedo terminar ninguna de ellas.
Optar c1: Utilizar el $\sinh()$ la fórmula uno puede formular $$ get\_h(i)\quad = f°^{-1}(g(i)) \qquad= \sinh°^{-1}( \sinh(l_r \cdot i)/s_r \cdot s_q)/l_q $$ Esto le da a las fracciones de índice en una generalizada set $X$ (cuando se generalizó a los reales) para cualquier $y_i$ en el índice de tipo entero $i$$Y$.
El cómputo de la generalizada $h$ desde el entero $i$ tal que $x_h = y_i$ $h=get\_h(i)$ da algunos heurístico de datos:i h(generalized) h*c_24 -------------------------------- 1 1.00000000000 0.87035116115 2 2.14675300150 1.86842896757 3 3.29570299894 2.86841893195 4 4.44466446748 3.86841888022 5 5.59362599515 4.86841887995 6 6.74258752313 5.86841887995 7 7.89154905111 6.86841887995 8 9.04051057909 7.86841887995 9 10.1894721071 8.86841887995 10 11.3384336351 9.86841887995 11 12.4873951630 10.8684188799 12 13.6363566910 11.8684188799 13 14.7853182190 12.8684188799 14 15.9342797470 13.8684188799 15 17.0832412750 14.8684188799 16 18.2322028029 15.8684188799 17 19.3811643309 16.8684188799 18 20.5301258589 17.8684188799 19 21.6790873869 18.8684188799 20 22.8280489149 19.8684188799 21 23.9770104428 20.8684188799 22 25.1259719708 21.8684188799 23 26.2749334988 22.8684188799 24 27.4238950268 23.8684188799 25 28.5728565548 24.8684188799 26 29.7218180827 25.8684188799 27 30.8707796107 26.8684188799 28 32.0197411387 27.8684188799 29 33.1687026667 28.8684188799 30 34.3176641947 29.8684188799Aquí, la constante$c_{24}$$c_{24}=f°^{-1}(\sqrt 2)$.
Vemos, que la ampliación de la generalizada $h$ el (irracional) constante $c_{24}$ da las distancias al entero más cercano que convergen rápidamente a algunos, probablemente irracional, el valor de la constante.
Con esto he tratado de mostrar, que la función de $get\_h(i)$ es no-entero para todo entero$i>0$ -, pero yo aún no llegan a una conclusión convincente.Optar c2: queremos, que en algunos $h>0$ $i>0$ encontramos (al menos) una igualdad de $x_h = y_i$. Aquí podemos observar, que la primefactorization en $x_h$ $y_i$ es cíclico con los índices y cada una de las posibles primefactors en $x_h=y_i$ tiene su ciclo de longitud. El ciclo-lengthes de la primefactors en $x_h$ corresponde ahora con primefactors en $h$ e de $y_i$ con primefactors en $i$.
Aquí está la tarea de demostrar que el ciclo lengthes para $x_h$ $y_i$ son lo suficientemente diferentes como para que no encontramos en cualquier combinación de $h$ $i$ tal que $x_h=y_i$ por sus canónica primefactorization.
Esto permite excluir muy grande $x_h$$y_i$, con poco esfuerzo, pero de nuevo no tengo un método concluyente para demostrar que este tiene, por así decir, un "infinito el ascenso".Nota, este comentario es un reflejo de una pregunta relacionada con la de la mina y por esto muy similares cuestión de tener solo diferentes parámetros y que he tratado de responder de la misma manera como está escrito aquí.
Aquí una solución general a este problema utilizando Ese método de descenso infinito (la versión más sencilla de la que actualmente es muy sofisticado). De $$24n^2+1=x^2\\48n^2+1=y^2$$ we have, since $x$ and $s$ are odd and $x\lt y$
$$(x+2h)^2=y^2\Rightarrow h^2+hx-6n^2=0\Rightarrow h= \frac{-x\pm\sqrt{x^2+24n^2}}{2}=$$ Porque de $24n^2=x^2-1$ el radicando se convierte en $2x^2-1$ y debe ser igual a$t^2$, por lo que tenemos $$2x^2-1=t^2\iff1+t^2=2x^2$$ A partir de la identidad $$(r^2-s^2+2rs)^2+(r^2-s^2-2rs)^2=2(r^2+s^2)^2$$ comes the general solution of the equation $$X^2+Y^2=2Z^2..........(*) $$ it follows, because $(1,t,x)$ is a solution of $(*)$ $$\begin{cases}r^2-s^2+2rs=t \\r^2-s^2-2rs=1\iff2r^2=1+(r+s)^2 \\r^2+s^2=x\Rightarrow r\text{ and }s\lt x \end{cases}$$ Esto muestra otra solución $(1,r+s,r)$$(*)$$r\text{ and }s\lt x$, por lo que tenemos $$\begin{cases}r_1^2-s_1^2+2r_1s_1=r+s \\r_1^2-s_1^2-2r_1s_1=1\iff2r_1^2=1+(r_1+s_1)^2 \\r_1^2+s_1^2=r\Rightarrow r_1\text{ and } s_1\lt r\end{cases} $$ Again another solution of $(*)$ with $r_1\text{ y }s_1\lt r$ y el procedimiento puede repetirse cuantas veces usted desee.
Por el descenso de la prueba se realiza.
Una conjetura:
Escribir el sistema equivalente $$x^2= 24 n^2 + 1 \\ y^2 = 48 n^2 + 1$$ para $$x^2 + 24 n^2 = y^2$$ Esta ecuación tiene algunos ( familias ) de las soluciones que están parametrizadas por algunos de los pares de enteros $(a,b)$. Express $x$, $y$ en términos de $a$, $b$ (cuadráticamente) y el enchufe en la primera ecuación. Obtenemos una ecuación en $a$, $b$ de grado $4$, un Thue ecuación. Hay algunos eficaz de los límites para las soluciones de esta ecuación, a pesar de que puede ser demasiado grande para comprobar tot ellos. Perhas este es el método en el último artículo que se cita.
Agregado: De la primera ecuación llegamos a la conclusión de $(x^2, 24 n^2)=1$, y por lo $(x^2, z^2)=1$. A partir de la tercera ecuación obtenemos $$(y-x)(y+x)= 24 n^2$$. $y$ and $x$ are both odd. We conclude that $(y-x, y+x)=2$. Por lo tanto, tenemos varias posibilidades:
$$\begin{array}{c:c:c:c:c} \frac{y-x}{2} & 6 u^2& 3 u^2 & 2 u^2& u^2 \\ \frac{y+x}{2} & v^2 & 2v^2 & 3 v^2 & 6 v^2 \\ n & u v& u v& u v & u v \end{array} $$
