Cómo deducir la FCD de $W=I^2R$ de los PDF de $I$ y $R$ independiente

Question

Dado el pdf de $I$ y $R$ (ambos $I$ y $R$ son VR independientes), cómo hallar la cdf de $W =I^2R$ ?

Dónde,

$$ \begin{align} f_I(i)&=6i(1-i), &0 \leq i \leq 1 \\ f_R(r)&=2r, &0 \leq r\leq 1. \end{align} $$

Answer 1

La forma más sencilla y segura de calcular la densidad de distribución o la probabilidad de una variable aleatoria suele ser calcular las medias de las funciones de esta variable aleatoria. En el caso que nos ocupa, se quiere escribir $\mathrm E(g(W))$ como $$ \color{blue}{\mathrm E(g(W))=\int g(w)f(w)\mathrm{d}w}, $$ para toda función acotada medible $g$ entonces se puede estar seguro de que $f$ es la densidad de la distribución de $W$ . Así que, en cierto modo, las funciones $g$ juegan el papel de una variable ficticia y uno quiere que la igualdad anterior se mantenga para cada $g$ .

Naturalmente $W=I^2R$ de ahí $\mathrm E(g(W))$ es a priori una integral doble, pero uno puede estar seguro de que un cambio de variable salvará el día. Así que, aplicando las definiciones, $\mathrm E(g(W))=\mathrm E(g(I^2R))$ y $$ \mathrm E(g(I^2R))=\iint g(x^2y)\cdot[0\leqslant x\leqslant 1]\cdot6x(1-x)\cdot[0\leqslant y\leqslant 1]\cdot2y\cdot\mathrm{d}x\mathrm{d}y, $$ donde, para cada propiedad $\mathfrak{A}$ , Soporte Iverson $[\mathfrak{A}]$ indica $1$ si $\mathfrak{A}$ sostiene y $0$ de lo contrario.

( Comienzo a despotricar: no, no me gusta poner los límites del dominio de integración en los signos de la integral, y sí, prefiero usar la notación $[\mathfrak{A}]$ o su primo $\mathbb{1}_\mathfrak{A}$ porque son más sistemáticas y, al menos para mí, menos propensas a errores. Fin de la perorata. )

Ahora, ¿qué cambio de variable? Para una de las dos nuevas variables, queremos $w=x^2y$ Por supuesto. Para el otro, una opción sensata (pero no la única) es $z=x$ . El nuevo dominio es $0\leqslant w\leqslant z^2\leqslant 1$ y el jacobiano viene dado por $\mathrm{d}x\mathrm{d}y=z^{-2}\mathrm{d}w\mathrm{d}z$ Por lo tanto $$ \mathrm E(g(W))=\int g(w)[0\leqslant w\leqslant 1]\left(\int [w\leqslant z^2\leqslant 1]\cdot6z(1-z)(2wz^{-2})z^{-2}\mathrm{d}z\right)\mathrm{d}w. $$ Por identificación, la densidad $f(w)$ es la cantidad encerrada entre paréntesis, es decir, para cada $0\leqslant w\leqslant1$ , $$ f(w)=\int [w\leqslant z^2\leqslant 1]6z(1-z)(2wz^{-2})z^{-2}\mathrm{d}z=12w\int_{\sqrt{w}}^1 z^{-3}(1-z)\mathrm{d}z, $$ Por fin, $$ \color{red}{f(w)=6(1-\sqrt{w})^2\cdot[0\leqslant w\leqslant1]}. $$

Answer 2

La probabilidad w = W es la probabilidad I^2 R = W.

$$f_W(w) = \int \delta(w - i^2 r) f_{I,R}(i, r) \, di \, dr$$

Independencia significa que $f_{I,R}(i, r) = f_I(i) f_R(r)$ .

(Sugiero hacer primero la integral R -- la transformación de la función delta es más fácil).

El cambio a la función de distribución acumulativa es sólo integración.

$$F_W(w_0) = \int_0^{w_0} f_W(w) dw.$$

Por supuesto, puedes conectar la primera a la segunda y hacer primero la integral W. Esto es bueno, ya que maneja la función delta con bastante facilidad.

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\dagger}} \newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, #1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\Theta\pars{x}}$ y $\ds{\delta\pars{x}}$ son los Función escalonada de Heaviside y el Función delta de Dirac respectivamente.

\begin{align} {\rm P}\pars{W}&=\totald{}{W}\int_{0}^{W}{\rm P}\pars{t}\,\dd t= \totald{}{W}\int_{0}^{1}6I\pars{1 - I} \int_{0}^{1}2R\,\Theta\pars{W - I^{2}R}\,\dd R\,\dd I \\[3mm]&= 12\int_{0}^{1}I\pars{1 - I}\int_{0}^{1}R\,\delta\pars{W - I^{2}R}\,\dd R\,\dd I \\[3mm]&= 12\int_{0}^{1}I\pars{1 - I}\int_{0}^{1}R\,{\delta\pars{R - W/I^{2}} \over I^{2}} \,\dd R\,\dd I \\[3mm]&=12\int_{0}^{1}{1 - I \over I}\,{W \over I^{2}} \int_{0}^{1}\delta\pars{R - {W \over I^{2}}}\,\dd R\,\dd I \\[3mm]&=12W\int_{0}^{1}{1 - I \over I^{3}}\, \Theta\pars{1 - {W \over I^{2}}}\,\dd I =12W\int_{0}^{1}{1 - I \over I^{3}}\,\Theta\pars{I - \root{W}}\,\dd I \\[3mm]&=12W\,\Theta\pars{1 - W}\int_{\root{W}}^{1}{1 - I \over I^{3}}\,\dd I =12W\,\Theta\pars{1 - W}\,{\pars{1 - \root{W}}^{2} \over 2W} \end{align}

$$\color{#00f}{\large% {\rm P}\pars{W} = \Theta\pars{W}\Theta\pars{1 - W}6\pars{\root{W} - 1}^{2}} $$