Puede alguien explicarme qué es un Producto Moyal ?
Además, ¿cómo se pone $$X_a(\psi) ~=~ x_a\star\psi$$ realizar $$[X_a,X_b]=i\theta_{ab}{\bf 1}?$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
I) El producto asociativo no conmutativo Moyal/Groenewold/estrella $f\star g$ se explica en Wikipedia . El correspondiente $\star$ -El conmutador se define como
$$\tag{1} [f\stackrel{\star}{,} g]~:=~f\star g-g\star f.$$
En particular, el Identidad de Jacobi para el $\star$ -es una consecuencia de la asociatividad del $\star$ -producto.
II) Por un lado, está el álgebra de las funciones, es decir, el álgebra $\mathbb{C}[[x]]$ de series de potencias en indeterminados $x_a$ . Lo equipamos con una unidad $1$ y el $\star$ -producto $^1$ para que
$$\tag{2} [x_a\stackrel{\star}{,}x_b]~=~i\theta_{ab}.$$
III) Por otro lado, está el álgebra de Heisenberg $({\cal A}, +, \circ)$ generado por
$$\tag{3} [X_a\stackrel{\circ}{,}X_b]~=~i\theta_{ab}{\bf 1}.$$
Aquí los elementos del álgebra de Heisenberg son operadores (lineales) que actúan sobre funciones; el producto del álgebra $\circ$ es la composición; la unidad de álgebra ${\bf 1}$ es el operador de identidad; y
$$\tag{4} [A \stackrel{\circ}{,}B]~:=~A \circ B - B \circ A$$
es el conmutador de composición habitual de dos operadores $A$ y $B$ .
IV) Existe un único isomorfismo del álgebra
$$\tag{5} (\mathbb{C}[[x_a]],+, \star) ~\stackrel{\Phi}{\longrightarrow}~({\cal A}, +, \circ) $$
generado por
$$\tag{6} \Phi(x_a)~:=~X_a.$$
Se deduce que el isomorfismo del álgebra $\Phi$ mapea la (2) en la (3).
V) El álgebra de Heisenberg actúa sobre el álgebra $\mathbb{C}[[x]]$ es decir, un operador $A$ actúa sobre una función $\psi$ y producir una nueva función $A(\psi)$ . Concretamente, para un elemento $A\in {\cal A}$ definir
$$\tag{7} A(\psi)~:=~\Phi^{-1}(A) \star \psi. $$
Equivalentemente,
$$\tag{8} \Phi(f) (g)~:=~f \star g. $$
No es difícil ver que la definición (7) es coherente con la $\Phi$ es un isomorfismo del álgebra.
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$^1$ También existe la multiplicación puntual conmutativa y asociativa estándar $\cdot$ de las funciones, que no juega casi ningún papel aquí.
