Me pidió ayer una pista sobre cómo calcular el $$1+\sum_{k=1}^{k=n}\frac{\sin(kx)}{\sin^{k}(x)}$$
He trabajado en este problema durante un par de horas y ahora estoy atascado de nuevo, me gustaría disfrutar otra sugerencia/ayuda sobre cómo continuar.
Esto es lo que he hecho, con la sugerencia que tengo:
$$\sum_{k=1}^{k=n}\frac{\sin(kx)}{\sin^{k}(x)}=\frac{1}{2i}\sum_{k=1}^{k=n}((\frac{e^{xi}}{\sin(x)})^{k}-(\frac{e^{-xi}}{\sin(x)})^{k})=\frac{1}{2i}(\underbrace{\sum_{k=0}^{k=n}(\frac{e^{xi}}{\sin(x)})^{k}}_{S_{1}}-\underbrace{\sum_{k=0}^{k=n}(\frac{e^{-xi}}{\sin(x)}}_{S_{2}})^{k}) $$
Así que traté de calcular sumas y dividir por $2i$:
$$S_{1}=\sum_{k=0}^{k=n}(\frac{e^{xi}}{\sin(x)})^{k}=1\cdot\frac{(\frac{e^{xi}}{\sin(x)})^{n+1}-1}{\frac{e^{xi}}{\sin(x)}-1}=\frac{\frac{e^{ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n+1}(x)}}{\frac{e^{xi}-\sin(x)}{\sin(x)}}=\frac{e^{ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n+1}(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{e^{xi}-\sin(x)}=\frac{e^{ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n}(x)(e^{xi}-\sin(x))}$$
y similirly:
$$S_{2}=\sum_{k=0}^{k=n}(\frac{e^{-xi}}{\sin(x)})^{k}=1\cdot\frac{(\frac{e^{-xi}}{\sin(x)})^{n+1}-1}{\frac{e^{-xi}}{\sin(x)}-1}=\frac{\frac{e^{-ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n+1}(x)}}{\frac{e^{-xi}-\sin(x)}{\sin(x)}}=\frac{e^{-ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n+1}(x)}\cdot\frac{\sin(x)}{e^{-xi}-\sin(x)}=\frac{e^{-ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n}(x)(e^{-xi}-\sin(x))}$$
Entonces me tardaba la diferencia y dispuestos de manera que puedo dividir por $2i$:
$$S_{1}-S_{2}=\frac{e^{ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n}(x)(e^{xi}-\sin(x))}-\frac{e^{-ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)}{\sin^{n}(x)(e^{-xi}-\sin(x))}=\frac{(e^{ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x))(e^{-xi}-\sin(x))-((e^{xi}-\sin(x))(e^{-ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x))}{\sin^{n}(x)(e^{-xi}-\sin(x))(e^{xi}-\sin(x))}$$
$$=\frac{e^{ixn}-\sin(x)e^{ix(n+1)}-\sin^{n+1}(x)e^{-xi}+\sin^{n+2}(x)-e^{-ixn}+\sin^{n+1}(x)e^{xi}+\sin(x)e^{-ix(n+1)}-\sin^{n+2}(x)}{\sin^{n}(x)(e^{-xi}-\sin(x))(e^{xi}-\sin(x))}$$
$$=\frac{e^{ixn}-e^{-ixn}-\sin(x)(e^{ix(n+1)}-e^{-ix(n+1)})+\sin^{n+1}(x)(e^{xi}-e^{-xi})}{\sin^{n}(x)(e^{-xi}-\sin(x))(e^{xi}-\sin(x))}$$
y ahora me dividido por $2i$:
$$\implies\frac{s_{1}-s_{2}}{2i}=\frac{\sin(nx)-\sin(x)\sin(x(n+1))+\sin^{n+1}(x)\sin(x)}{\sin^{n}(x)(1-\sin(x)(e^{xi}+e^{-xi})+\sin^{2}(x))}$$
Esto es donde estoy atascado, tengo un alto nivel de competencias de $\sin(x)$ también $\sin(nx)$ $\sin(x(n+1))$ que no sé qué hacer, tengo que tener en cuenta que desde que tengo para agregar $1$ a esta suma su probablemente significaba para hacer la expresión en algo más agradable, pero si añado $1$ ahora voy a hacer la oppisate
Cualquier ayuda o sugerencia es appriciated!
