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Que bola cae más rápido, fresco o caliente?

Supongamos que estamos en la cima de la Torre de Pisa (o una versión más grande) con idénticos dos balas de cañón. Ponemos a calentar una (digamos, a 200 grados Centígrados, o algunos otros de alta temperatura antes de que comience la fusión y de deformación). Luego bajamos ambos. Que uno llegará al suelo?

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Floris Puntos 54054

Supongo que la pregunta es "cual de estas experiencias una mayor aceleración debido a la diferencia entre la fuerza de la gravedad y atmosférica de las fuerzas de la bola de cañón", porque "el que se llega a la planta primera" tiene todo tipo de frívola respuestas de espera.

El más caliente de bala de cañón tiene un par de propiedades que pueden ser relevantes:

  1. va a ser más grande: más de flotabilidad, más resistencia
  2. Se puede calentar el aire a su alrededor - ¿que afectan arrastre?

Vamos a estimar un par de cantidades. Vamos a suponer que la bala de cañón está hecho de plomo, de hierro o de piedra puede ser utilizado - las respuestas no iba a cambiar mucho), y que es de 15 cm de diámetro de la bola de volumen de alrededor de 1,8 litros, la masa de 20 kg. Coeficiente de expansión térmica de plomo es de alrededor de $28\cdot10^{-6}/\mathrm{K}$, así que con un 200 °C de aumento de temperatura, el diámetro aumenta por el 0,56% y el volumen 1.69%. El volumen de la cantidad adicional de aire que se desplaza es de 22 ml, y la masa del aire desplazado $\Delta m$ es de alrededor de 27 mg.

Primero vamos a calcular el arrastre. Para el de arriba bola de cañón, el número de Reynolds está en el orden de $10^5$ y coeficiente de arrastre / resistencia de una esfera es relativamente constante alrededor de 0,5 y de la fuerza de arrastre es dada por

$$F = \frac12 \rho C_v A v^2$$

donde $\rho$ es la densidad del fluido, $A$ es la aparente área, $C_v$ es el coeficiente de arrastre y $v$ es la velocidad. En la parte inferior de la torre, cuando el cañón de la pelota tiene una velocidad de cerca de 33 m/s, este arrastre asciende a 12 N - esto es en realidad una cantidad bastante considerable! La velocidad de un objeto faling bajo la influencia de la gravedad y un $v^2$ de la fuerza de arrastre puede ser escrito en términos de la altura y la velocidad terminal:

$$v_t = \sqrt{\frac{2mg}{C_v\rho A}}\approx 191 m/s$$ $$v(y) = v_t\sqrt{1-\exp\left(\frac{-2g(y-y_0)}{v_t^2}\right)}$$

Numéricamente la integración de esta expresión muestra que la resistencia en el anterior bala de cañón se ralentiza por alrededor de 0.26 m/s (velocidad de impacto); la diferencia en el tiempo (vs aterrizaje sin arrastrar) es de alrededor de 8 ms, y la distancia recorrida en ese tiempo es de 0,30 m - bastante!

La diferencia en la resistencia debido al tamaño de la bañera de cannon ball es suficiente para añadir otro de 3 mm a la distancia, dándole a la bola caliente un poco más de arrastre. Definitivamente va a ser más lento.

Pero espera, hay más.

Ahora una esfera en movimiento a través de un medio de experiencias de una aparente inercia igual a su propia masa, más la mitad de la masa del fluido desplazado, por lo que la bala de cañón caliente tendrá un aparente aumento de la inercia de $\Delta m/2$ y un aumento de la flotabilidad de las $\Delta m g$.

El tiempo de caída es dado por

$$t = \sqrt{\frac{2h}{g'}}$$

donde $g'$ es la aceleración efectiva, es decir, la fuerza neta dividida por la aparente inercia

$$g' = \frac{mg - V\rho g}{m + V\rho / 2}$$

Con una altura de 56 m, el tiempo aproximado para la gota (sin tomar en cuenta a estos efectos adicionales) es de 3,4 segundos. La fracción de la diferencia entre los dos es de aproximadamente dada por $0.75 \Delta m / m = 1.4\cdot 10^{-6}$. Esto hace la diferencia en el tiempo acerca de 4.6 µs - difícil de medir, ya que a esa velocidad (alrededor de 34 m/s) corresponde a una bola que está por delante de los otros 0,15 mm. Es posible que usted podría medida que - pero es menos que un grano de arena. La torre ya está inclinada - mejor asegurarse de que tiene las dos bolas exactamente el nivel de llegada; caer exactamente en el mismo tiempo; y disponer de ellos de la tierra en una exactamente superficie plana... La flotabilidad tanto, es definitivamente menos un factor importante, pero la resistencia es sorprendentemente significativo.

Por cierto, exactamente cómo se sueltan las pelotas juega un papel importante. Si mantienes la parte superior de las bolas de nivel antes de soltarlos, a continuación, la parte inferior de la bola caliente ya está bien por delante (alrededor de 0,6 mm), más que el efecto de la flotabilidad, pero menos que el efecto de arrastre.

La cuestión de calentar el aire y afectan la resistencia es muy interesante, pero difícil de estimar. La bala de cañón caliente puede calentar el aire y disminuir la densidad, pero la resistencia es, en esencia, causada por impartir energía cinética a una columna de aire "barrido" por la bala de cañón, y la cantidad de turbulencia creada a raíz de la pelota es probablemente suficiente para mezclar el aire y salir de la densidad esencialmente sin cambios. Si el aire estuviera realmente calentado a 200°C, y la presión permanece constante, la menor densidad del aire podría resultar en una reducción significativa en la resistencia (recuerde $F\propto A\rho$) por lo que hacer que la bala de cañón caliente más rápido. Pero para que esto funcione, el aire necesita ser calentado por varios grados en promedio (nos gustaría que el producto $\rho A$ es menor, y desde $A$ aumentó un 1,1%, necesitaríamos $\rho$ a disminuir por más que eso: un 4 grados de temperatura cambio sería suficiente. Obtener este tipo de calefacción en el aire cuando la pelota se mueve a 30 m/s (la resistencia es mayor justo antes de que la pelota golpea el suelo: que es donde tenemos el efecto), significa que debemos ser capaces de transferir una cantidad suficiente de calor de la bala al aire.

Si queremos que al calor de una columna de aire que está a 30 m de largo por 15 cm de diámetro por 4 grados en un segundo, el calor que se requiere es

$$U = \frac{\pi}{4}(0.15)^2*1.2*4 = 2.6 \mathrm{J}$$

El uso de un h factor del 40 $\mathrm{W/m^2/K}$ (ligeramente fuera del rango de valores dados en http://www.engineeringtoolbox.com/convective-heat-transfer-d_430.html) con una superficie de 0,07 $\mathrm{m^2}$ y una diferencia de temperatura de 200 grados permite una transferencia de calor de 560 J - mucho más grande que el 2,6 J que sería necesaria.

Así, en lugar de sorprendentemente, incluso a pesar de que la pelota está cayendo rápidamente, es capaz de calentar el aire.

Pero el calor de la derecha de aire para reducir el arrastre, o el mal de aire para aumentar el arrastre?

Hipótesis 1: al aumentar la temperatura de la capa límite, que aumentan la viscosidad. Esto aumenta la "aparente" tamaño de la bala de cañón y aumenta el arrastre

Hipótesis 2: el calentamiento del aire que provoca la expansión del aire justo en frente de la bala de cañón y los resultados en una presión adicional. Esto retrasa el balón

Hipótesis 3: ya que la bala de cañón se siente el aire caliente "todo", el importe neto de la densidad del aire interactúa con es ligeramente inferior. Esto reduce el arrastre y hace caer la pelota más rápido.

No tengo una buena intuición para saber cual de estas tres es la correcta - tengo algunos colegas con excelente software CFD y voy a tratar de persuadirlos para ejecutar el modelo para mí.

La calefacción del aire será probablemente dominan totalmente el proceso, pero si esto significa que el calor de bala llegará a la planta primera está en mi mente no se ha probado.

3voto

expedient Puntos 554

La calefacción de la bola tiene un volumen mayor, por lo tanto, por Arquímedes ley tiene una mayor flotabilidad que el otro. Tal vez la fricción juega un papel así, pero al menos ya tenemos un principio que dice que se llega a la planta primera.

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