Determinar si hay una breve secuencia exacta

Question

Estoy haciendo algunos ejercicios en Hatcher:

Determinar si hay una breve secuencia exacta $0 \rightarrow \mathbb{Z}_4 \xrightarrow{f} \mathbb{Z}_8 \oplus \mathbb{Z}_2 \xrightarrow{g} \mathbb{Z}_4 \rightarrow 0$. De manera más general, que abelian grupos $A$ caber en una corta secuencia exacta $0 \rightarrow \mathbb{Z}_{p^m} \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} \mathbb{Z}_{p^n} \rightarrow 0$ donde $p$ prime. ¿Qué acerca de la $0 \rightarrow \mathbb{Z} \xrightarrow{f} A \xrightarrow{g} \mathbb{Z}_n \rightarrow 0$.

Me pueden decir si esto es correcto:

En el primer caso, debido a que $f$ inyectiva, se tiene que asignar el generador, $1$, a un elemento de orden $4$. Hay $2$ esencialmente diferentes elementos de orden $4$: $(2,1)$ y $(2,0)$. En ambos casos me sale una contradicción si están en $ker g$, por lo que no puede ser una secuencia exacta.

En el siguiente caso, $\mathbb{Z}_{p^m}$ es cíclica, es decir, digamos que es generado por $c$. A continuación, $f(c)$ orden $p^m$. Por lo $ker g$ orden $p^m$. Por lo tanto, $A$ tiene que tener al menos el fin de $p^{n+m}$. Ahora no estoy seguro de cómo proceder.

Puedo deducir nada acerca de $A$?

Muchas gracias por tu ayuda!

Answer 1

Algunos consejos:

1) Si $H$ es el subgrupo generado por a $(2,1)$, creo que el orden de los elementos $(1,0)+H$ en el cociente grupo $\mathbf{Z}_8\oplus\mathbf{Z}_2/H$ es de cuatro, ¿no?

2) en este punto de su estudios, usted está probablemente espera que estén familiarizados con la estructura de finitely generado abelian grupos como el de los productos de subgrupos cíclicos. Por lo tanto, usted debe ser capaz de enumerar los posibles abelian grupos de orden $p^{n+m}$.

3) Si $g(a)=1$$b=f(1)$, a continuación, mostrar que la media del grupo en su corta secuencia exacta es generado por $a$$b$. ¿Qué tipo de restricciones hace de este lugar en el grupo $A$?

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[Añadido posterior (Matt aceptó, por lo que ha resuelto su problema).] Mi forma de pensar acerca de la primera parte de la pregunta podría resumirse/generalizada de la siguiente manera. Tenemos un grupo abelian $G$ de la forma $\mathbf{Z}_m\oplus\mathbf{Z}_n$ (w.l.o.g. puede asumir $n\mid m$). Deje $H$ ser el subgrupo generado por el elemento $x=(x_1,1)$. Consideremos el cociente grupo $G/H$. Un elemento general $(a,b)\in G$ se encuentra en el mismo coset modulo $H$$(a,b)-bx=(a-bx_1,0)$. La forma en que pienso es que: se puede ajustar el último coordinar a ser igual a cero por restar un múltiplo de $x$ a partir de cualquier elemento dado. Además, mientras que hace que nos mantengamos dentro de la misma coset de $H$. De todos modos, esto implica que cualquier coset en $G/H$ es un múltiplo de la coset $(1,0)+H$. En otras palabras, el cociente grupo $G/H$ es cíclico. La búsqueda de su pedido es fácil. También se observa que el mismo argumento funciona, si utilizamos $x=(x_1,x_2)$ en lugar de $(x_1,1)$ mientras $x_2$ es un generador de este último sumando. Aquí debemos exigir $gcd(x_2,n)=1$ para que de ser el caso.

Esto hace que sea fácil para nosotros para producir a corto exacta de las secuencias de la forma $$0\rightarrow \mathbf{Z}_{p^m}\rightarrow \mathbf{Z}_{p^j}\oplus\mathbf{Z}_{p^{m+n-j}}\rightarrow\mathbf{Z}_{p^n}\rightarrow 0,$$ para cualquier $j$ tal que $\max\{n,m\}\le j\le m+n$. Simplemente deje que la primera homomorphism a ser el que envía a$1$$y=(p^{j-m},1)$. El elemento $y$ tiene el orden correcto, por lo que esta asignación es un bien definido monomorphism. El argumento anterior muestra que el cokernel debe ser cíclico, por lo que estamos por hacer.