la derivada de $ {1\over x} + {1\over y} = 1$

Question

Me estoy encontrando la derivada de esta ecuación, utilizando la diferencia implícita en el término de x. $$ {1\over x} + {1\over y} = 1$$

Aquí es lo que yo hice.

$$ {1\over x} + {1\over y} = 1$$ $$ x^{-1} + y^{-1} = 1$$ $$$$ $$ D_x [x^{-1} + y^{-1}] = D_x [1]$$ $$-x^{-2} - y^{-2}\cdot D_x y = 0 $$ $$-y^{-2} \cdot D_x y = x^{-2}$$ $$D_x y = - {y^{2} \over x^2}$$ Mi derivada es $$D_x y = - {y^{2} \over x^2}$$ Es esto correcto?

La respuesta del libro dice que es:

$$d_x y = {(y-1) \over (x-1)}$$

¿Hice algo mal? O es sólo el libro de respuestas de error tipográfico? O puedo volver a escribir este?

Answer 1

Ambas respuestas son correctas.

$${1\over x} + {1\over y} = 1 \\ \implies y+x=xy \\ \implies y = \frac{x}{x-1}\quad \text{and}\quad x=\frac{y}{y-1}$$

Conecte uno de los cada uno en su respuesta a la consigue $$\require{cancel}D_xy = -\frac{y^2}{x^2} = -\frac{y}{x}\frac{y}{x} = -\frac{\color{red}{\cancel {\color{black}y}}}{\color{red}{\cancel {\color{black}x}}}\left(\frac{{\color{red}{\cancel {\color{black}x}}}(y-1)}{{\color{red}{\cancel {\color{black}y}}}(x-1)}\right) = -\frac{y-1}{x-1}$$

Tenga en cuenta que usted hubiera recibido esta respuesta de inmediato si había implícitamente diferenciadas $y+x=xy$ en lugar de $\frac1x + \frac 1y = 1$. Así que eso es probablemente lo que la tecla de respuesta del escritor hizo.

Answer 2

Su respuesta es correcta. Usted puede volver a escribir.

Sugerencia:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1 \Rightarrow xy=y+x \Rightarrow y=x(y-1)$ $x=y(x-1).$

Ahora reescribir $\frac{y^2}{x^2}$ $\frac{y}{x}\cdot \frac{y}{x}.$

Answer 3

Ambas respuestas son las mismas(correcto) sólo tienes que sustituir y como una función de x a ver que este es su derivada. Pero la función no está definida cuando cualquiera de y o x es 0.