¿Cómo podemos resolver la integración por fracciones incluidas $x^5$$x^7+1$?

Question

Puede alguien por favor resuelve la integración de abajo? He estado tratando durante más de una hora. Pero no hubo suerte.

$$\int \frac{x^5}{x^7+1} dx $$

Answer 1

Usando el poder de la serie podemos representar, $$\frac{1}{1+x^7}=\frac{1}{1-(-x^7)}= \sum_{n=0}^{\infty}(-x^7)^n$$

$$= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{7n}=1-x^7+x^{14}-…$$

Por lo $$\frac{x^5}{1+x^7}=x^5-x^{12}+x^{19}-…$$

Y ahora es un problema si $$\int x^{5}-x^{12}+x^{19}-…dx$$

Aparte de eso, usted puede tener escribió la pregunta equivocada, porque un cerrado la solución a este problema es enorme y va a tomar un tiempo muy largo para conseguir realmente..

Answer 2

No sé por qué usted editado tu post, pero no hay una respuesta real sin el "contorno de desvío" como me gusta decirlo. Alguien puede probar el resultado, no me interesa.

$$\int {{x^5} \over (x^7+1)} dx = -1/7 \sin((3 \pi)/14) \log(x^2+2 x \sin((3 \pi)/14)+1)+{1/7} \sin(\pi/14) \log(x^2-2 x \sin(\pi/14)+1)+1/7 \cos(\pi/7) \log(x^2-2 x \cos(pi/7)+1)-1/7 \log(x+1)+2/7 \sin(pi/7) \tan^{-1}(\csc(\pi/7) (x-\cos(\pi/7)))+2/7 \cos((3 \pi)/14) \tan^{-1}(\sec((3 \pi)/14) (x+\sin((3 \pi)/14)))+2/7 \cos(\pi/14) \tan^{-1}(\sec(\pi/14) (x-\sin(\pi/14)))+C$$ (probabilidad de un error tipográfico 20%)