valor mínimo de la expresión $a^2+b^2$

Question

Si $a,b$ son dos números reales no nulos y $ab(a^2-b^2) = a^2+b^2,$ Entonces $\min(a^2+b^2)$

$\bf{My\; Try::}$ Podemos escribirlo como $$ab=\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}\Rightarrow a^2b^2=\frac{(a^2+b^2)^2}{(a^2+b^2)^2-4a^2b^2}$$

Poner ahora $a^2+b^2=u$ y $a^2b^2=v,$ Entonces la expresión se convierte en $$v=\frac{u^2}{u^2-4v}\Rightarrow 4v^2-u^2v+u^2=0$$

Para las raíces reales, $\bf{Discriminant \geq 0}$

$$u^4-16u^2\geq 0\Rightarrow u^2(u^2-16)\geq 0$$

Así que obtenemos $$u^2\geq 16\Rightarrow u\geq 4\Rightarrow x^2+y^2\geq 4,$$

Mi pregunta es si podemos resolverlo de otra manera (sin la sustitución trigonométrica),

Si es así, por favor, explique aquí, gracias

Answer 1

Si dejamos que $z = a + b i$ entonces obtenemos $$ab = \frac{ z^2 - \bar{z}^2}{4i}$$ $$a^2 - b^2 = \frac{ z^2 + \bar{z}^2}{2}$$ $$a^2 + b^2 = z \bar{z}$$

Así, su ecuación original puede reescribirse como $$\frac{Im(z^4)}{4} = \frac{z^4 - \bar{z}^4}{8 i} = \frac{(z^2 - \bar{z}^2)(z^2 + \bar{z}^2)}{8i} = z \bar{z}$$

Tenemos $\frac{\|z\|^4}{4} \geq \frac{Im(z^4)}{4} = \|z\|^2$ Así que $\|z\|^2 \geq 4$ como se desea. Esto se consigue exactamente cuando $z^4$ es puramente imaginario.