qué $4097$ brecha $2^{4097}-2$?

Question

qué $4097$ repartir $2^{4097}-2$ ? Ha pasado mucho tiempo desde que hice la teoría de números.

$4097 = 17\times241$.

Sé que tengo que ambas de 17 y 241 no divide $2^{4097}-2$ (con fermats poco teorema)

Hay una manera más fácil para ver esto?

Answer 1

Tenga en cuenta que si usted sabe que $17$ (o $241$) no divide $2^{4097}- 2$, no puede ser el caso de que $4097 = 17\cdot 241$ divide.

$$pq\mid a \implies (p\mid a\;\text{ and }\;q \mid a)$$

Declaró en su contrapositivo forma, $$(p \not \mid a\;\text{ or }\;q\not\mid a) \implies pq\not\mid a$$

Answer 2

4097 está a sólo 1 más de 4096 que es $2^{12}$ y 4096 $\equiv$ -1 mod 4097. Que proporciona una manera fácil de hacer la aritmética modular sin siquiera factoring 4097.

$2^{4097}$ = $2^{5}$* $(2^{12})^{341}$.

$(2^{12})^{341}$ $\equiv$ $-1^{341}$ $\equiv$ -1 mod 4097

Así $2^{4097}$ $\equiv$ $2^{5}$*-1 $\equiv$ -32 mod 4097

en lugar de 2 que es lo que eran originalmente pidió a refutar.