solución óptima para la racional aproximación de PI

Question

Considere la posibilidad de 2 números enteros tales que a $a/b \approx\pi$. Deje $c=|\pi-(a/b)|$ $a$ $b$ crecimiento $c \to 0$. Ahora considere el $d=abc$. Do $a$ $b$ existe tal que $d$ es menor de lo que sería para cualquier otro par?

Answer 1

Para una buena aproximación, podemos esperar $ab\approx \pi b^2$, por lo que son, esencialmente, buscando aproximaciones que hacen de $|\pi-\frac a b|\cdot b^2$ pequeños. Los mejores candidatos para este son la continuación de la fracción aproximaciones para $\pi$, yo.e $\frac31$, $\frac{22}7$, $\frac{333}{106}$, $\frac{355}{113}$, $\frac{103993}{33102}$ conduce a $d$ valores de $-0.425$, $0.195$, $-2.937$, $0.0107$, $-1.989$. Especialmente buenas son esas aproximations antes de que un gran número se muestra en la continuación de la fracción. Si en lugar de $\pi$ estaban pidiendo $\sqrt 2$, digamos, una explícita respuesta podría ser dado. Pero para trascendentales como $\pi$ siempre hay sorpresas esperando, que es nuevo récord de aproximaciones (=los grandes números en la continuidad de la fracción) pueden atraer "más abajo".

Answer 2

Desde $a$ está cerca de $b\pi$, $d$ está cerca de a $\pi b^2|\pi-(a/b)|$. No se sabe si existen infinitos pares de $a,b$ de manera tal que, dicen, $|\pi-(a/b)|\lt b^{-3}$. Si hay, entonces su $d$ va a cero, como se $a,b$ de aumento.