Deseaba: la Simple integración de la teoría

Question

Suponiendo que queremos formular una muy primitiva de la teoría de la integración, el único requisito de que todas las funciones continuas $[a, b]\longrightarrow\mathbb{R}$ ser integrable. ¿Cuál es la forma más simple posible teoría que incluye un riguroso concepto de integral y una prueba de que existe para todas las funciones continuas?

Claramente la definición de la integral integral da paso a la más simple regulada integral definida a través uniforme de límites de funciones de paso, pero todavía tiene un poco de no-trivial de trabajo para demostrar que esto incluye las funciones continuas. Un candidato a batir esta es sólo para tomar una suma de Riemann con equidistante de la partición

$$\int_a^b f(x)dx:=\lim\limits_{n\longrightarrow\infty}\frac{b-a}{n}\sum\limits_{k=1}^n f\left(a+\frac{k}{n}(b-a)\right)$$

que se reduce a mostrar que este límite existe si $f$ es continuo, pero esto todavía requiere de algunos educados sensación de cómo proceder, ya que no podemos evitar el uso de una instancia de el hecho de que cotinuous funciones en $[a, b]$ son uniformemente continuas. Me pregunto si podemos vencer a este.. hay algunos naturales de modo elemental rigor a introducir una primitiva integral, para que la prueba de la continua siendo integrable clase de escribe a sí mismo?

Answer 1

Para los interesados, he encontrado recientemente un (sorprendente?) la respuesta que me resulta bastante satisfactorio en el anterior sentido y valiosa hacia un riguroso pero a la vez fácil de exposición (muy) análisis elemental:

1. Empezar con Weierstrass' Aproximación Teorema: Una función continua $f$: $[0, 1]\longrightarrow\mathbb{R}$ es el límite uniforme de polinomios $(p_n)$. Hay que reconocer que esto no es trivial demostrar, pero puede ser utilizado de manera convincente sin prueba o se demostró muy bien escribiendo el concreto de la secuencia de los polinomios de Bernstein, y la prueba también aísla de distancia uniforme de la continuidad de los argumentos por lo que no deben ser invocadas en la construcción.

2. La idea obvia para establecer $\int f :=\lim_n\int p_n$ no es bueno, ya que se requiere de nosotros para evaluar las integrales de potencias $x^m$ a través de las sumas de Riemann (s. fórmula anterior) - esto no es fácil en absoluto, pero es una bonita forma alrededor de él a través de la función exponencial: tenga en cuenta que si $p_n$ converge uniformemente a$f$, $p_n\circ\exp$ converge uniformemente a $f\circ\exp$ - esto se basa en el hecho de que un bijection en un intervalo compacto tiene un continuo inversa. Para funciones continuas en $[0, 1]$ son uniformes límites de polinomios compuesto con $\exp$, o en consecuencia, las combinaciones lineales de exp-funciones.

3. El de arriba hierve todo para el cálculo de las integrales de $e^{cx}$ (algunos $c>0$) a través de las sumas de Riemann, pero esto es fácil, ya que $\sum_{k=0}^{n-1} e^{ck}=\frac{1-e^{cn}}{1-e^c}$ por telescópica y todo lo que uno necesita es el conocimiento de que $\lim_{x\longrightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1$, lo que es comprobable por manipulación algebraica simple.

4. La extensión de a $[a, b]$ $[0, 1]$ es fácil de hacer por lineal de sustitución.

5. Esta noción de integral (que hasta ahora trabaja para funciones continuas, pero es lo suficientemente bueno para una versión primitiva del Teorema Fundamental del Cálculo) puede ser extendido en la forma obvia de funciones continuas a trozos y, posteriormente, a los uniformes de los límites de esta. De hecho, estos últimos resultan ser precisamente el regulado funciones (pero que es donde algunos de Heine-Borel tipo de compacidad argumento es necesario, a más tardar).