Una función analítica es la identidad

Question

$W$ es un subconjunto abierto y conectado de $ \mathbb C$ . Si $ \varphi : W \to W $ es una función analítica, tal que $ \varphi (w) = w$ y $ \varphi '(w) = 1$ para algunos $w \in W$ Entonces $\, \varphi ={ \rm Id}$ .

Creo que necesito implementar de alguna manera el lema de Schwarz... Pero no sé exactamente cómo hacerlo aquí...

Answer 1

Primera solución. Sin pérdida de la generalidad, supongamos que $w=0$ y dejar que $r>0$ de tal manera que $ \overline {D}(0,r) \subset W.\,$ En $f$ no es la identidad, entonces en $ \overline {D}(0,r)$ puede expresarse como $$ f(z)=z+a_kz^k+ \mathcal {O}(z^{k+1}), $$ donde $a_kz^k$ es el término más bajo no cero, de orden superior a uno. Obsérvese que las funciones $\,f_n=f \circ\cdots\circ f$ ( $n$ veces), también son analíticas en $W$ y $\,f_n[W] \subset W$ para todos $n \in\mathbb N$ . Además, no es difícil ver que $$ f_n(z)=z+na_kz^k+{ \mathcal O}(z^{k+1}), \quad\text {for all $ n \in\mathbb N $.} $$ La fórmula integral de Cauchy proporciona que $$ na_k= \frac {1}{2 \pi i} \int_ {|z|=r} \frac {f_n( \zeta )\,d \zeta }{ \zeta ^{k+1}}. \tag {1} $$ Si $M= \sup_ {z \in W}|z|$ Entonces $(1)$ implica que $$ n|a_k| \le \frac { \sup_ {z \in\ W}|\,f(z)|}{r^k}= \frac {M}{r^k}, $$ y como esto es válido para todos $n \ge 1$ Entonces $a_k=0$ . Contradicción. Por lo tanto $f(z)=z$ .

Segunda solución. Aquí usamos la suposición adicional de que $W$ es un simplemente región conectada, en cuyo caso, $W$ ni siquiera tiene que limitarse. Basta con ser diferente de $ \mathbb C$ .

Utilizaremos los siguientes resultados:

Teorema de Mapeo de Riemann. Si $\,W \subsetneq\mathbb C$ está simplemente conectado y $\,w \in W,\,$ entonces existe una cartografía conformacional $\,f : W \to\mathbb D$ donde $ \mathbb D$ es el disco de la unidad abierta, de tal manera que $\,f(w)=0$ .

Lemma. Si $g: \mathbb D \to\mathbb D$ es analítica, $\,g(0)=0$ y $\,g'(0)=1,\,$ entonces $\,g(z)=z,\,\,$ para todos $z \in\mathbb D$ .

Supongamos ahora que $W \subsetneq\mathbb C$ es una región simplemente conectada, $\, \varphi :W \to W,\,$ analítica, y existe una $w \in W$ de tal manera que $ \varphi (w)=w$ y $\, \varphi '(w)=1$ . El Teorema de Mapeo de Riemann proporciona un $\,f:W \to\mathbb D$ con $\,f(w)=0$ . Deje que $\,g=f \circ\varphi\circ f^{-1}$ . Claramente, $g$ es analítica en $ \mathbb D$ , $\,g[ \mathbb D] \subset \mathbb D$ y $g(0)=0$ y $$ g'(0)=f' \big (( \varphi\circ f^{-1})(0) \big ) \varphi ' \big ((\, f^{-1})(0) \big )(\,f^{-1})'(0)=f'(w)\, \varphi '(w) \frac {1}{f' \big (\,f^{-1}(0) \big )} \\ =f'(w)\, \varphi '(w) \frac {1}{f'(w)}=1. $$ Usando el Lema, obtenemos que $\,g(z)=z,\,$ y por lo tanto $ \varphi =f^{-1} \circ g \circ f= \mathrm {Identity}.$