Número de soluciones distintas de $f(f(x))=0$

Question

Deje que $f(x)=x^3-3x+1.$ Entonces, ¿cuál es el número de diferentes soluciones reales de la

ecuación $f(f(x))=0$ ?

$f(x)$ tiene tres raíces y $f(f(x))$ será 0 cuando el valor de $f(x)$ es igual a su raíz. Pero este enfoque está resultando tedioso para encontrar los valores exactos de las raíces de $f(x)$ no es posible ¿Alguien podría sugerir un enfoque mejor?

Answer 1

$$f(x)=x^3 -3x+1$$

$$f'(x)=3x^2-3$$

Así que el máximo está en $(-1,3)$ mínimo en $(1,-1)$

Así, $f(x)$ tiene $3$ raíz real.

Ahora en orden para $f(f(x))=0$ , $f(x)$ debe ser igual a una de sus raíces.

Así que realmente se está preguntando cuántas raíces tiene cada uno $f(x)=k$ tienen, donde $k$ es una raíz de $f(x)$ .

Como se observa en el cálculo anterior, el mínimo está en $y=-1$ y el máximo está en $y=3$ . Así que si $f(x)>3$ o $f(x)<-1$ sólo hay una raíz. Mientras que si $f(x)$ es igual a $-1$ o $3$ hay dos raíces distintas. Si $-1<f(x)<3$ hay tres raíces distintas.

Answer 2

Primero observen que las raíces $ \alpha , \beta , \gamma $ satisface $-2< \alpha <-1< \beta <1< \gamma <2$ . (Se trata de una aplicación de la TIV.)
Entonces, las raíces de la ecuación dada son precisamente las raíces de $f(x)= \alpha , \beta , \gamma $ . Usando el hecho de que el mínimo y el máximo local de $f$ aparece en $x= \pm1 $ puedes decir cuántas raíces hay para cada tres ecuaciones usando la gráfica de la función y el rango de $ \alpha , \beta ,$ y $ \gamma $ .